Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Věta o aritmetice limit pro posloupnosti podruhé

Úloha číslo: 694

1. Dokažte následující zobecnění věty o limitě součtu.

Nechť k je pevně zvolené přirozené číslo a pro každé i přirozené, i = 1, ..., k, je \(\{a_{i,n}\}_{n=1}^\infty\) posloupnost reálných čísel. Potom platí

\[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_{1,n} + a_{2,n} + \ldots + a_{k,n}) = \\ = \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_{1,n} + \lim_{{\small n\to\infty}} a_{2,n} + \ldots + \lim_{{\small n\to\infty}} a_{k,n}\]

kdykoliv má pravá strana smysl.

Poznámka: Věta o součtu limit tedy platí pro libovolný pevný konečný počet sčítanců. Analogické tvrzení je pravdivé i pro limitu součinu.

2. Ukažte, že

\[\lim_{{\small n\to\infty}} \ \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}\right) = \frac{1}{2}.\]

Poznámka: Je tedy chybný „výpočet“

\[\lim_{{\small n\to\infty}} \ \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}\right) \neq\] \[ \lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{1}{n^2} + \lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{2}{n^2} + \cdots + \lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{n}{n^2} =\] \[ = 0 + 0 + \cdots + 0 = 0.\]

Věta o aritmetice limit tedy „neplatí“ pro proměnný a potenciálně nekonečný počet sčítanců.

  • Rozbor první části

    Začněme od obyčejné věty o aritmetice limit, která říká:

    Jsou-li {an} a {bn} posloupnosti reálných čísel, potom platí

    \[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n,\]

    jestliže má pravá strana smysl.

    Slovy lze tuto větu vyjádřit takto: Jsou-li {an} a {bn} posloupnosti reálných čísel, limita součtu těchto posloupností je rovna součtu limit obou posloupností, má-li tento součet smysl.

    Naše zobecnění se od této věty liší pouze tím, že na obou stranách uvažujeme nikoliv dvě posloupnosti, ale celkem k posloupností, kde k je libovolné přirozené číslo.

    Slovy je lze tedy vyjádřit takto: Limita součtu k posloupností je rovna součtu limit jednotlivých posloupností, má-li tento součet smysl.

    Toto zobecnění se poměrně jednoduše dokáže matematickou indukcí. Podle obyčejné věty o aritmetice limit (pro dvě posloupnosti) lze totiž psát

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n} + a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}) =\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n} + \lim_{n\to\infty} (a_{2,n} + \cdots + a_{k,n})\]

    a indukční předpoklad nám zařídí zbytek.

    Tento princip, kdy se vlastnost dokázaná pro nějakou operaci se dvěma objekty rozšíří indukcí na libovolný konečný počet objektů je v matematické analýze velmi často používaným nástrojem.

  • Nápověda č.1 k první části

    Použijte matematickou indukci.

  • Nápověda č.2 k první části

    Položte

    \[a_n = a_{1,n}\]

    a

    \[b_n = a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}.\]

    Podle věty o aritmetice limit (pro dvě posloupnosti) platí

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n} + a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}) = \lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) =\] \[\lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} a_{1,n} + \lim_{n\to\infty} (a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}).\]

    Nelze dále pokračovat analogicky?

  • Řešení první části

    Uvědomme si ale nejprve, že nemá smysl cokoliv dokazovat, pokud pravá strana smysl nemá. V dalším tedy předpokládáme, že součet

    \[\lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k,n},\]

    smysl má, a tudíž má také smysl součet kterýchkoliv z těchto k čísel.

    Tvrzení první části úlohy dokážeme matematickou indukcí podle k.

    Jestliže k = 1, potom je tvrzení první části triviální, neboť příslušná věta de facto tvrdí pouze tolik, že

    \[\lim_{n\to\infty} a_{1,n} = \lim_{n\to\infty} a_{1,n}.\]

    Jestliže k = 2, potom je tvrzení první části (až na značení) shodné s větou o aritmetice limit pro dvě posloupnosti (namísto {an} a {bn} píšeme {a1,n} a {a2,n})

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n} + a_{2,n}) = \lim_{n\to\infty} a_{1,n} + \lim_{n\to\infty} a_{2,n}.\]

    Tuto větu jsme dokázali v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti.

    Předpokládejme tedy, že tvrzení platí pro číslo k – 1, tedy že platí (indukční předpoklad)

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}) =\tag{1}\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k-1,n},\]

    neboť předpokládáme, že pravá strana má smysl.

    Dokazujme tvrzení pro číslo k.

    Položíme-li formálně

    \[a_n = a_{1,n} + \cdots + a_{k-1,n}\]

    a

    \[b_n = a_{k,n},\]

    platí podle věty o aritmetice limit pro dvě posloupnosti rovnost

    \[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n\]

    neboť předpokládáme, že pravá strana má smysl. A po dosazení za posloupnosti {an} a {bn} dostaneme, že platí rovnost

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}+a_{k,n}) =\] \[= \lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}) + \lim_{n\to\infty} a_{k,n},\]

    neboť opět předpokládáme, že pravá strana má smysl.

    Ale podle indukčního předpokladu, tj. rovnosti (1), platí, že

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}) =\tag{1}\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k-1,n},\]

    (neboť pravá strana smysl). Jejím dosazením do předchozího vztahu získáme rovnost

    \[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}+a_{k,n}) =\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k,n},\]

    (neboť pravá strana má smysl), což je obsahem dokazovaného tvrzení.

  • Nápověda ke druhé části

    Pomocí matematické indukce ukažte, že platí vztah

    \[1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]

    Tento vztah použijte k výpočtu limity.

  • Řešení nápovědy ke druhé části

    Tvrzení dokazujme matematickou indukcí. Pro n = 1 zjevně platí. Předpokládejme tedy, že platí pro n – 1, tj. že platí (indukční předpoklad)

    \[1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}\]

    a dokazujme jej pro číslo n.

    Díky indukčnímu předpokladu máme

    \[1 + 2 + \cdots + (n-1) + n = \frac{(n-1)n}{2} + n =\] \[= \frac{n(n-1)+2n}{2} = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2},\]

    což jsme chtěli dokázat.

  • Řešení druhé části

    Podle nápovědy ke druhé části úlohy a jejího řešení víme, že

    \[1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2},\]

    odkud vyplývá, že

    \[\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2} = \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{n+1}{2n}.\]

    Máme tedy rovnost

    \[\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} =\]

    a opakovaným použitím věty o aritmetice limit dostaneme postupně

    \[= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze