Věta o aritmetice limit pro posloupnosti podruhé
Úloha číslo: 694
1. Dokažte následující zobecnění věty o limitě součtu.
Nechť k je pevně zvolené přirozené číslo a pro každé i přirozené, i = 1, ..., k, je \(\{a_{i,n}\}_{n=1}^\infty\) posloupnost reálných čísel. Potom platí
\[\lim_{{\small n\to\infty}} \ (a_{1,n} + a_{2,n} + \ldots + a_{k,n}) = \\ = \lim_{{\small n\to\infty}} \ a_{1,n} + \lim_{{\small n\to\infty}} a_{2,n} + \ldots + \lim_{{\small n\to\infty}} a_{k,n}\]kdykoliv má pravá strana smysl.
Poznámka: Věta o součtu limit tedy platí pro libovolný pevný konečný počet sčítanců. Analogické tvrzení je pravdivé i pro limitu součinu.
2. Ukažte, že
\[\lim_{{\small n\to\infty}} \ \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}\right) = \frac{1}{2}.\]Poznámka: Je tedy chybný „výpočet“
\[\lim_{{\small n\to\infty}} \ \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}\right) \neq\] \[ \lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{1}{n^2} + \lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{2}{n^2} + \cdots + \lim_{{\small n\to\infty}} \ \frac{n}{n^2} =\] \[ = 0 + 0 + \cdots + 0 = 0.\]Věta o aritmetice limit tedy „neplatí“ pro proměnný a potenciálně nekonečný počet sčítanců.
Rozbor první části
Začněme od obyčejné věty o aritmetice limit, která říká:
Jsou-li {an} a {bn} posloupnosti reálných čísel, potom platí
\[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n,\]jestliže má pravá strana smysl.
Slovy lze tuto větu vyjádřit takto: Jsou-li {an} a {bn} posloupnosti reálných čísel, limita součtu těchto posloupností je rovna součtu limit obou posloupností, má-li tento součet smysl.
Naše zobecnění se od této věty liší pouze tím, že na obou stranách uvažujeme nikoliv dvě posloupnosti, ale celkem k posloupností, kde k je libovolné přirozené číslo.
Slovy je lze tedy vyjádřit takto: Limita součtu k posloupností je rovna součtu limit jednotlivých posloupností, má-li tento součet smysl.
Toto zobecnění se poměrně jednoduše dokáže matematickou indukcí. Podle obyčejné věty o aritmetice limit (pro dvě posloupnosti) lze totiž psát
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n} + a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}) =\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n} + \lim_{n\to\infty} (a_{2,n} + \cdots + a_{k,n})\]a indukční předpoklad nám zařídí zbytek.
Tento princip, kdy se vlastnost dokázaná pro nějakou operaci se dvěma objekty rozšíří indukcí na libovolný konečný počet objektů je v matematické analýze velmi často používaným nástrojem.
Nápověda č.1 k první části
Použijte matematickou indukci.
Nápověda č.2 k první části
Položte
\[a_n = a_{1,n}\]a
\[b_n = a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}.\]Podle věty o aritmetice limit (pro dvě posloupnosti) platí
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n} + a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}) = \lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) =\] \[\lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} a_{1,n} + \lim_{n\to\infty} (a_{2,n} + \cdots + a_{k,n}).\]Nelze dále pokračovat analogicky?
Řešení první části
Uvědomme si ale nejprve, že nemá smysl cokoliv dokazovat, pokud pravá strana smysl nemá. V dalším tedy předpokládáme, že součet
\[\lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k,n},\]smysl má, a tudíž má také smysl součet kterýchkoliv z těchto k čísel.
Tvrzení první části úlohy dokážeme matematickou indukcí podle k.
Jestliže k = 1, potom je tvrzení první části triviální, neboť příslušná věta de facto tvrdí pouze tolik, že
\[\lim_{n\to\infty} a_{1,n} = \lim_{n\to\infty} a_{1,n}.\]Jestliže k = 2, potom je tvrzení první části (až na značení) shodné s větou o aritmetice limit pro dvě posloupnosti (namísto {an} a {bn} píšeme {a1,n} a {a2,n})
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n} + a_{2,n}) = \lim_{n\to\infty} a_{1,n} + \lim_{n\to\infty} a_{2,n}.\]Tuto větu jsme dokázali v úloze Věta o aritmetice limit pro posloupnosti.
Předpokládejme tedy, že tvrzení platí pro číslo k – 1, tedy že platí (indukční předpoklad)
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}) =\tag{1}\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k-1,n},\]neboť předpokládáme, že pravá strana má smysl.
Dokazujme tvrzení pro číslo k.
Položíme-li formálně
\[a_n = a_{1,n} + \cdots + a_{k-1,n}\]a
\[b_n = a_{k,n},\]platí podle věty o aritmetice limit pro dvě posloupnosti rovnost
\[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n\]neboť předpokládáme, že pravá strana má smysl. A po dosazení za posloupnosti {an} a {bn} dostaneme, že platí rovnost
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}+a_{k,n}) =\] \[= \lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}) + \lim_{n\to\infty} a_{k,n},\]neboť opět předpokládáme, že pravá strana má smysl.
Ale podle indukčního předpokladu, tj. rovnosti (1), platí, že
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}) =\tag{1}\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k-1,n},\](neboť pravá strana smysl). Jejím dosazením do předchozího vztahu získáme rovnost
\[\lim_{n\to\infty} (a_{1,n}+\cdots+a_{k-1,n}+a_{k,n}) =\] \[= \lim_{n\to\infty} a_{1,n}+\cdots+\lim_{n\to\infty} a_{k,n},\](neboť pravá strana má smysl), což je obsahem dokazovaného tvrzení.
Nápověda ke druhé části
Pomocí matematické indukce ukažte, že platí vztah
\[1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]Tento vztah použijte k výpočtu limity.
Řešení nápovědy ke druhé části
Tvrzení dokazujme matematickou indukcí. Pro n = 1 zjevně platí. Předpokládejme tedy, že platí pro n – 1, tj. že platí (indukční předpoklad)
\[1 + 2 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}\]a dokazujme jej pro číslo n.
Díky indukčnímu předpokladu máme
\[1 + 2 + \cdots + (n-1) + n = \frac{(n-1)n}{2} + n =\] \[= \frac{n(n-1)+2n}{2} = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2},\]což jsme chtěli dokázat.
Řešení druhé části
Podle nápovědy ke druhé části úlohy a jejího řešení víme, že
\[1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2},\]odkud vyplývá, že
\[\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2} = \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{n+1}{2n}.\]Máme tedy rovnost
\[\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n}{n^2}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} =\]a opakovaným použitím věty o aritmetice limit dostaneme postupně
\[= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2}\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}.\]
