Substituce V
Úloha číslo: 1501
Určete pomocí substituce
\[\int{\ln{(\sin{x}})}\mathrm{cotg}\,{x}dx\]Motivace
Existuje celá řada metod pro řešení integrálů. Jednou z nich je právě substituční metoda. Její síla spočívá v mnohdy poměrně snadné aplikaci. Řada, na půdě škol řešených integrálů, navíc vede právě na řešení touto metodou.
Následující věta v kostce shrnuje základní princip metody.
Věta o substituci
Mějme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(I \in \mathbb{R}\), mající na témže intervalu primitivní funkci \(F\). Dále mějme funkci \(g\) zobrazující interval \(J \in \mathbb{R}\) na interval \(I\), která je spojitě derivovatelná na intervalu \(J\). Pak \(F(g)\) je primitivní funkce k funkci \(f(g)g\prime\) na intervalu \(J\)
\[\int f(g(x))g\prime(x)dx=\int f(y)dy\,\,\bigg|_{y=g(x)}\]Lidský překlad věty říká, že vidíme-li v integrovaném výrazu funkci ve vhodné konstalaci s její derivací, pak jsou nám vrátka k substituci příznivě pootevřena. Často stačí jen provést několik kosmetických úprav a následnou substitucí integrál převádíme na tabulkový případ.
Pozornému oku neunikne, že skutečný potenciál této metody dlí v počtářově zkušenosti s derivováním a v jeho „oku“ na vnímání kombinací funkce se svou derivací.
Vhodná substituce
Pozorně si prohlédněte integrovanou funkci. Pokuste se nalézt vhodnou kombinaci funkce, za niž budete substituovat s její derivací.
Nevidíte-li nic na první pohled, pokuste se problém vyřešit zkusmým derivováním - metodou pokus, omyl.
Integrace
Pomocí zvolené substituce převeďte úlohu na tabulkový případ, integrál vyřešte a následnou zpětnou substitucí určete konečnou podobu řešení.
Řešení
V případě, že v integrované funkci vystupuje funkce \(\mathrm{tg}\,{x}\) nebo \(\mathrm{cotg}\,{x}\), je mnohdy výhodnější rozepsat ji dle definice
\[\mathrm{tg}\,{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\]nebo
\[\mathrm{cotg}\,{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\]Zaměříme-li se nyní na hledání substituované funkce a jí příslušné derivace, zjišťujeme, že při substituci
\[y=\ln{\sin{x}}\]pro derivaci \(y\) podle \(x\) platí
\[dy=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx\]Je zjevné, že po výše uvedeném rozpisu funkce \(\mathrm{cotg}\,{x}\) je námi zvolená substituce v daném případě správná, neboť vede na tabulkový integrál \(\int w dw=\frac{w^2}{2} +c\)
Již máme připravenou substituci
\[y=\ln{\sin{x}}\] \[dy=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx\]po dosazení do původní úlohy
\[I=\int{\ln{(\sin{x}})}\mathrm{cotg}\,{x}dx=\]po drobné avizované úpravě
\[=\int{\ln{(\sin{x}})}\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx=\]získáváme
\[I=\int y dy\]což je tabulkový integrál, řešitelný jako
\[=\frac{y^2}{2}+c\]nakonec po následné zpětné substituci získáváme
\[=\frac{\ln^2{\sin{x}}}{2}+c\]což je i hledaným řešením původní úlohy
Výsledek
\[=\frac{\ln^2{\sin{x}}}{2}+c\]
