Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Substituce V

Úloha číslo: 1501

Určete pomocí substituce

\[\int{\ln{(\sin{x}})}\mathrm{cotg}\,{x}dx\]
  • Motivace

    Existuje celá řada metod pro řešení integrálů. Jednou z nich je právě substituční metoda. Její síla spočívá v mnohdy poměrně snadné aplikaci. Řada, na půdě škol řešených integrálů, navíc vede právě na řešení touto metodou.

    Následující věta v kostce shrnuje základní princip metody.

    Věta o substituci

    Mějme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(I \in \mathbb{R}\), mající na témže intervalu primitivní funkci \(F\). Dále mějme funkci \(g\) zobrazující interval \(J \in \mathbb{R}\) na interval \(I\), která je spojitě derivovatelná na intervalu \(J\). Pak \(F(g)\) je primitivní funkce k funkci \(f(g)g\prime\) na intervalu \(J\)

    \[\int f(g(x))g\prime(x)dx=\int f(y)dy\,\,\bigg|_{y=g(x)}\]

    Lidský překlad věty říká, že vidíme-li v integrovaném výrazu funkci ve vhodné konstalaci s její derivací, pak jsou nám vrátka k substituci příznivě pootevřena. Často stačí jen provést několik kosmetických úprav a následnou substitucí integrál převádíme na tabulkový případ.

    Pozornému oku neunikne, že skutečný potenciál této metody dlí v počtářově zkušenosti s derivováním a v jeho „oku“ na vnímání kombinací funkce se svou derivací.

  • Vhodná substituce

    Pozorně si prohlédněte integrovanou funkci. Pokuste se nalézt vhodnou kombinaci funkce, za niž budete substituovat s její derivací.

    Nevidíte-li nic na první pohled, pokuste se problém vyřešit zkusmým derivováním - metodou pokus, omyl.

  • Integrace

    Pomocí zvolené substituce převeďte úlohu na tabulkový případ, integrál vyřešte a následnou zpětnou substitucí určete konečnou podobu řešení.

  • Řešení

    V případě, že v integrované funkci vystupuje funkce \(\mathrm{tg}\,{x}\) nebo \(\mathrm{cotg}\,{x}\), je mnohdy výhodnější rozepsat ji dle definice

    \[\mathrm{tg}\,{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\]

    nebo

    \[\mathrm{cotg}\,{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\]

    Zaměříme-li se nyní na hledání substituované funkce a jí příslušné derivace, zjišťujeme, že při substituci

    \[y=\ln{\sin{x}}\]

    pro derivaci \(y\) podle \(x\) platí

    \[dy=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx\]

    Je zjevné, že po výše uvedeném rozpisu funkce \(\mathrm{cotg}\,{x}\) je námi zvolená substituce v daném případě správná, neboť vede na tabulkový integrál \(\int w dw=\frac{w^2}{2} +c\)

    Již máme připravenou substituci

    \[y=\ln{\sin{x}}\] \[dy=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx\]

    po dosazení do původní úlohy

    \[I=\int{\ln{(\sin{x}})}\mathrm{cotg}\,{x}dx=\]

    po drobné avizované úpravě

    \[=\int{\ln{(\sin{x}})}\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx=\]

    získáváme

    \[I=\int y dy\]

    což je tabulkový integrál, řešitelný jako

    \[=\frac{y^2}{2}+c\]

    nakonec po následné zpětné substituci získáváme

    \[=\frac{\ln^2{\sin{x}}}{2}+c\]

    což je i hledaným řešením původní úlohy

  • Výsledek

    \[=\frac{\ln^2{\sin{x}}}{2}+c\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze