Lineární rovnice (přehrada)
Úloha číslo: 1853
Určete funkci \(m(t)\) popisující hmotnost nečistot v jezeře o objemu \(V\) v čase \(t\), je-li hladina vody v jezeře neměnná, tj. přítok, respektive odtok vody je konstantní. Pro jednoduchost dále předpokládejte, že rozložení znečišťujících částic v jezeře je rovnoměrné a rychlost \(v\), kterou přitékají, je konstantní.
Lineární rovnice
Názvosloví
Rovnici \(y'+a(x)y=b(x)\) zveme homogenní, jestliže \(b(x)\equiv 0\). V opačném případě hovoříme o rovnici nehomogenní nebo také o rovnici s pravou stranou.
Poznámka: Znak \(\equiv\), volně překládáme jako identicky rovno, v tomto kontextu užíváme pro zdůraznění skutečnosti, že je hodnota funkce \(b(x)\) na uvažovaném intervalu konstantně nulová, nezávisle na volbě \(x\).
Nutno poznamenat, že název homogenní má ve smyslu lineárních diferenciálních rovnic zcela odlišný význam než v případě homogenních diferenciálních rovnic (úloha Homogenní rovnice). Vyvarujme se proto jejich záměně či případnému ztotožnění!
Homogenní rovnice
Zaměřme se nejprve na řešení homogenní rovnice
\[y'+a(x)y=0 \,.\]Převedeme-li člen \(a(x)y\) na pravou stranu, obdržíme
\[y'=-a(x)y \,,\]tedy rovnici se separovanými proměnnými (Separace proměnných). Povšimněme si nejprve, že \(y=0\) je vždy triviálním řešením této rovnice. Uvážíme proto pouze ostatní případy, kdy \(y\ne 0\) a rovnici \(y\) vydělíme
\[\frac{y'}{y}=-a(x) \,.\]Lze-li dále rovnici integrovat, získáme
\[\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d} y}{y}&=-\int a(x) \mathrm{d} x \\ \ln{(Ky)}&=-\int{a(x)}\mathrm{d} x;\, K\in \mathbb{R};\,Ky > 0 \,. \end{align*}\]Následným odlogaritmováním pak obdržíme
\[\begin{align*} Ky&=\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x};\, K=\frac{1}{C} \\ y&=C\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,. \end{align*}\]Poznámka: Získaný výsledný vzorec pro obecné řešení homogenní rovnice bývá v literatuře také zván obecný integrál homogenní rovnice.
Z podmínky pro \(K\) plyne \(C\in \mathbb{R} / \{0\}\). Pokud ovšem uvažovanou množinu rozšíříme o možnost \(C = 0\), zahrneme do výsledného vzorce i zmiňované triviální řešení \[y=0\] .
Nyní již máme k dispozici obecné řešení homogenní rovnice, pro jednoduchost, \(y_h=Cy_0\), pak \(y_0= ^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}\).
Rovnice s pravou stranou
Označme dále \(y_p\) libovolné jedno řešení vyhovující rovnici s pravou stranou
\[y'+a(x)y=b(x)\,.\]K nalezení tohoto partikulárního řešení \(y_p\) využijeme metodu zvanou variace konstant, spočívající v nahrazení konstanty \(C\) ze vztahu pro \(y_h\) funkcí \(C(x)\), jinými slovy
\[y_p=C(x)y_0 =C(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Abychom získali konkrétní podobu funkce \(C(x)\), musíme nejprve vyjádřit derivaci
\[y'_p=C'(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}-C(x)a(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Dosadíme-li následně \(y_p\) a \(y'_p\) do řešené nehomogenní rovnice \(y'+a(x)y=b(x)\), získáme
\[\begin{align*} C'(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}-C(x)a(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}+C(x)a(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}&=b(x)\\ C'(x)\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}&=b(x)\,. \end{align*}\]Povšimněme si, že členy s \(C(x)\) se odečetly, což lze považovat za kontrolu správnosti při řešení konkrétních lineárních rovnic.
Výsledkem je diferenciální rovnice vedoucí na přímou integraci. Nejprve osamostatníme \( C'(x) \) na straně levé
\[C'(x)=b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Následně přímou integrací určíme funkci
\[C(x)=\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \mathrm{d} x \,,\]a s její pomocí pak konečnou podobu partikulárního řešení rovnice s pravou stranou
\[y_p=\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \mathrm{d} x \cdot \mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,.\]Obecné řešení lineární rovnice
Nyní máme k dispozici jak obecné řešení homogenní rovnice \(y_h\), tak i partikulární řešení rovnice s pravou stranou \(y_p\). Uvažme dále součet \(y=y_h+y_p\). Dosadíme-li takto vyjádřené \(y\) do řešené rovnice s pravou stranou, získáme
\[(y_h+y_p)'+a(x)(y_h+y_p)=b(x)\,,\]s využitím věty o derivaci součtu pak
\[y'_h+y'_p+a(x)y_h+a(x)y_p=b(x)\,.\]Vhodným přeuspořádáním a uzávorkováním levé strany, konečně získáme
\[\bigl(y'_h+a(x)y_h\bigr)+\bigl(y'_p+a(x)y_p\bigr)=b(x)\]Dále využijeme skutečnosti, že \(y_h\) řeší homogenní rovnici, nebo-li \(y'_h+a(x)y_h=0\), a \(y_p\) pak rovnici s pravou stranou, nebo-li \(y'_p+a(x)y_p = b(x)\). Celkově tak obdržíme
\[(0)+\bigl(b\bigl)(x))=b(x)\,.\]To ale znamená, že námi navrhované \(y = y_h + y_p\) je opět řešením rovnice s pravou stranou a vzhledem k libovůli v konstantě \(C\) se ve skutečnosti jedná přímo o řešení obecné.
S přihlédnutím k dříve odvozeným vztahům, tak pro obecné řešení rovnice s pravou stranou \(y\) plyne vztah
\[\begin{align*} y &= y_h + y_p\\ y &= Cy_0 + C(x)y_0 \\ y &=C\mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x}+\int b(x)\mathrm{e}^{\int{a(x)}\mathrm{d} x} \mathrm{d} x \cdot \mathrm{e}^{-\int{a(x)}\mathrm{d} x} \,. \end{align*}\]Získaný výsledný vzorec pro obecné řešení nehomogenní rovnice bývá v literatuře také zván obecný integrál nehomogenní rovnice.
Při řešení lineárních diferenciálních rovnic však raději upřednostněme nyní osvojený postup před memorováním právě získaných vzorců.
Sestavení diferenciální rovnice
Představte si popsanou situaci. Uvažte všechny vstupující parametry. Následně se problém pokuste uchopit pomocí diferenciální rovnice.
Homogenní rovnice
Nejprve se zaměřte na řešení příslušné homogenní rovnice.
Rovnice s pravou stranou
Svou pozornost nyní obraťte k řešení rovnice s pravou stranou. Využijte získané řešení homogenní rovnice.
Řešení
Protože je odtok rovnoměrný, můžeme předpokládat, že za den odteče \(V_0\) vody. To ale znamená, že poměr \(\frac{V_0}{V}\) udává, jak velká část vody se v jezeře vymění za jednotku času, v tomto případě den. Změnu hmotnosti nečistot v jezeře tak zachycuje lineární diferenciální rovnice
\[\dot{m}(t)= -\frac{V_0}{V}m(t)+v\,.\]Zaměřme se nejprve na řešení příslušné homogenní rovnice
\[\dot{m}+\frac{V_0}{V}m=0 \,.\]V souladu s teorií v rozboru jde o rovnici se separovanými proměnnými
\[\dot{m}=-\frac{V_0}{V}m\,,\]kterou pro \(m\ne0\) upravíme jako
\[\frac{\dot{m}}{m}=-\frac{V_0}{V}\]a integrujeme
\[\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}m}{m} &=-\frac{V_0}{V} \int 1 \mathrm{d} t\\ \ln{(Km)} &=-\frac{V_0}{V} t ;\, Km>0 \,. \end{align*}\]Po následném odlogaritmování pak získáme obecné řešení homogenní rovnice
\[m_h=C\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t};\, K=\frac{1}{C} \,.\]Dále svou pozornost obrátíme k rovnici s pravou stranou
\[\dot{m}+\frac{V_0}{V}m=v\,,\]kdy využijeme získané řešení \(m_h\) a variaci konstant. Partikulární řešení rovnice s pravou stranou tak hledáme ve tvaru
\[m_p=C(t)\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t} \,.\]Nejprve vyjádříme derivaci
\[\dot{m}_p=\dot{C}\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t}-C\frac{V_0}{V}\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t}\]a následně jak \(m_p\) tak \(\dot{m}_p\) dosadíme do řešené nehomogenní rovnice
\[\dot{C}\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t}-C\frac{V_0}{V}\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t} +\frac{V_0}{V}C\mathrm{e}^{-\frac{}V_0{V} t} =v\,.\]Členy s \(C(x)\) se odečtou
\[\dot{C}\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t} =v \Rightarrow \dot{C} =v \mathrm{e}^{\frac{V_0}{V} t}\]a my tak získáme diferenciální rovnici řešitelnou přímou integrací
\[C =v\int \mathrm{e}^{\frac{V_0}{V} t} \mathrm{d} t \,.\]Pro řešení integrálu zavedeme substituci \(w=\frac{V_0}{V} t\), kde \(\mathrm{d} w=\frac{V_0}{V} \mathrm{d} t\). Získáme tak
\[\begin{align*} C &=\frac{V}{V_0} v\int \mathrm{e}^{w} \mathrm{d} w \\ C &=\frac{V}{V_0} v \mathrm{e}^{w} + L\,. \end{align*}\]Protože hledáme jedno konkrétní řešení rovnice s pravou stranou, konstantu \(L\) položíme rovnu nule
\[C =\frac{V}{V_0 } v \mathrm{e}^{\frac{V_0}{V} t} \,.\]S využitím vztahu pro \(C(t)\) dále vyjádříme
\[m_p=\frac{V}{V_0 } v ^{\frac{V_0}{V} t}\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t} \Rightarrow m_p=\frac{V}{V_0 } v\]a skrze \(m=m_h+m_p\) pak konečně i obecné řešení
\[m(t)=C\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t} +\frac{V}{V_0 } v \,.\]Předpokládáme-li dále, že v čase \(t=0\) nebylo jezero znečištěno, tedy \(m(0)=0\), můžeme určit konstantu \(C\) jako
\[0=C\mathrm{e}^{0} +\frac{V}{V_0 } v \Rightarrow C=-\frac{V}{V_0 } v \,.\]Pro hledanou funkci \(m(t)\) pak celkově získáváme
\[m(t)=-\frac{V}{V_0 } v\mathrm{e}^{-\frac{V_0}{V} t} +\frac{V}{V_0 } v \,.\]
