Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti – n-tá odmocnina III

Úloha číslo: 849

Dokažte, že

\[\lim_{\small n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty.\]

Komentář: Platí a je to dokázáno v jiné úloze, že

\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e},\]

kde e je tzv. Eulerovo číslo.

  • Nápověda

    Dokažte matematickou indukcí následující nerovnost platnou pro všechna přirozená čísla

    \[n! \geq n^{\frac{n}{2}}.\]
  • Řešení

    Protože platí

    \[n! \geq n^{n/2}\]

    a tudíž

    \[\sqrt[n]{n!} \geq n^{1/2} \xrightarrow{n\to\infty} +\infty,\]

    máme podle části (b) úlohy Věta o dvou policajtech

    \[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze