Pro n = 1 a n = 2 tvrzení zřejmě platí. Předpokládejme tedy, že platí pro n a dokazujme jej pro n + 1. Máme
\[(n+1)! = (n+1)\cdot n! \geq\]
podle indukčního předpokladu
\[\geq (n+1)\cdot n^{n/2}.\]
Zbývá rozhodnout, jestli je pravdivá nerovnost
\[(n+1)\cdot n^{n/2} \geq (n+1)^{(n+1)/2}\]
Umocněním obou stran na druhou dostaneme nerovnost
\[(n+1)^2\cdot n^{n} \geq (n+1)^{(n+1)}\]
Podělením obou stran (n+1)nn získáme nerovnost
\[(n+1) \geq \frac{(n+1)^{n}}{n^n}\]
a po úpravách nerovnost
\[(n+1) \geq \left(\frac{n+1}{n}\right)^n,\]
\[(n+1) \geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.\]
O výrazu na pravé straně lze ukázat, že se jedná o rostoucí posloupnost s limitou rovnou číslu e zvaném Eulerovo číslo, které je menší než 3. Nám ale bude stačit ukázat, že výraz na pravé straně je právě menší nebo roven třem.
Podle binomické věty ale platí, že
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + 1 + \frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3} + \ldots \]
\[ \ldots + \frac{n(n-1)(n-2)\ldots 1}{n!}\frac{1}{n^n} \leq \]
\[ \leq 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!} \leq \]
\[ \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} = 3.\]
A protože s výjimkou n = 1, kterýžto případ lze dokázat zvlášť, je n+1 ≥ 3, máme
\[(n+1) \geq 3 \geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\]
což bylo dokázati.
