Sbírka řešených úloh

Limita posloupnosti – n-tá odmocnina III

Úloha číslo: 849

• Nápověda

  Dokažte matematickou indukcí následující nerovnost platnou pro všechna přirozená čísla

  $$n! \geq n^{\frac{n}{2}}.$$

• Řešení nápovědy

  Pro n = 1 a n = 2 tvrzení zřejmě platí. Předpokládejme tedy, že platí pro n a dokazujme jej pro n + 1. Máme

  $$(n+1)! = (n+1)\cdot n! \geq$$

  podle indukčního předpokladu

  $$\geq (n+1)\cdot n^{n/2}.$$

  Zbývá rozhodnout, jestli je pravdivá nerovnost

  $$(n+1)\cdot n^{n/2} \geq (n+1)^{(n+1)/2}$$

  Umocněním obou stran na druhou dostaneme nerovnost

  $$(n+1)^2\cdot n^{n} \geq (n+1)^{(n+1)}$$

  Podělením obou stran (n+1)nⁿ získáme nerovnost

  $$(n+1) \geq \frac{(n+1)^{n}}{n^n}$$

  a po úpravách nerovnost

  $$(n+1) \geq \left(\frac{n+1}{n}\right)^n,$$ $$(n+1) \geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

  O výrazu na pravé straně lze ukázat, že se jedná o rostoucí posloupnost s limitou rovnou číslu e zvaném Eulerovo číslo, které je menší než 3. Nám ale bude stačit ukázat, že výraz na pravé straně je právě menší nebo roven třem.

  Podle binomické věty ale platí, že

  $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = 1 + 1 + \frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3} + \ldots$$ $$\ldots + \frac{n(n-1)(n-2)\ldots 1}{n!}\frac{1}{n^n} \leq$$ $$\leq 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!} \leq$$ $$\leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^n} = 3.$$

  A protože s výjimkou n = 1, kterýžto případ lze dokázat zvlášť, je n+1 ≥ 3, máme

  $$(n+1) \geq 3 \geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$$

  což bylo dokázati.

• Řešení

  Protože platí

  $$n! \geq n^{n/2}$$

  a tudíž

  $$\sqrt[n]{n!} \geq n^{1/2} \xrightarrow{n\to\infty} +\infty,$$

  máme podle části (b) úlohy Věta o dvou policajtech

  $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty.$$