Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny IV
Úloha číslo: 826
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}}}{\sqrt{n+1}}\]Nápověda
Postupně vytýkejte zevnitř vždy nejvyšší mocninu n.
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}}}{\sqrt{n+1}}.\]Postupným vytýkáním získáváme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+n^2\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+n\sqrt{1+\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{1+1/n}} = \]a pomocí tvrzení (a) a (b) v úloze Limita pod odmocninou I a věty o aritmetice limit lze odůvodnit, že v čitateli i jmenovateli lze limitit zvlášť výrazy pod všemi odmocninami. Dostaneme tak
\[ = \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+0}}}}{\sqrt{1+0}} = \sqrt{1+\sqrt{2}}. \]Dodejme, že podrobné odůvodnění výpočtu limity v čitateli je poměrně obtížné. Zájemce odkazujeme na komentáře u podobné úlohy Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny III.
