Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny IV

Úloha číslo: 826

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}}}{\sqrt{n+1}}\]
  • Nápověda

    Postupně vytýkejte zevnitř vždy nejvyšší mocninu n.

  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}}}{\sqrt{n+1}}.\]

    Postupným vytýkáním získáváme

    \[\lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+1}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n^2+n^2\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n+n\sqrt{1+\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{n+1}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{n}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+1/n^4}}}}{\sqrt{1+1/n}} = \]

    a pomocí tvrzení (a) a (b) v úloze Limita pod odmocninou I a věty o aritmetice limit lze odůvodnit, že v čitateli i jmenovateli lze limitit zvlášť výrazy pod všemi odmocninami. Dostaneme tak

    \[ = \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+0}}}}{\sqrt{1+0}} = \sqrt{1+\sqrt{2}}. \]

    Dodejme, že podrobné odůvodnění výpočtu limity v čitateli je poměrně obtížné. Zájemce odkazujeme na komentáře u podobné úlohy Limita posloupnosti s odmocninou - vytýkání z odmocniny III.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze