Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Přehled používaných užívaných limit funkcí

Úloha číslo: 1173

Dvě následující limity jsou součástí používaných axiomatických definic funkcí \(\exp\) a \(\sin\).

  1. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\)

Považujte je tedy obě za známé. Pomocí nich odvoďte následující limity funkcí, které jsou často používané v jiných úlohách.

  1. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}=1\)
  2. \(\lim\limits_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1\)
  3. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\,{x}}{x}=1\)
  4. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\arcsin{x}}{x}=1\)
  5. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x}=1\)
  6. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\)
  7. \(\lim\limits_{x\to 1-} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}\)
  8. Odvoďte také tzv. limity růstové škály.

  9. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\log^p x}{x^{a}}=0; a \gt 0, p \in R\)
  10. \(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^p}{a^{x}}=0; a \gt 1, p \in R\)

  • Věta o limitě složené funkce

    V této úloze i v jiných úlohách na limitu funkce bude hojně využívána následující věta.

    Věta o limitě složené funkce:

    Nechť \( a \in \mathbb{R}^{*}\), kde \(\mathbb{R}^*\) značí reálnou osu rozšířenou o plus a minus nekonečno. Nechť funkce \(f,g\) splňují:

    \[\lim_{x \to a} g(x)=A \in \mathbb{R}^{*};\lim_{y \to A} f(y)=B \in \mathbb{R}^{*} \]

    A nechť platí alespoň jedna z podmínek (symbolem \(P(a)\) se míní prstencové okolí bodu \(a\)):

    (P): \(\exists P(a)\ \forall x \in P(a):g(x)\ne A\),

    (S): funkce f je spojitá v bodě \(A\).

    Potom platí, že

    \[\lim_{x \to a} \ f(g(x)) = B.\]
  • Nápověda 1.

    Vyjděte z limity, kterou považujeme za známou

    \[\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.\]

    Použijte definici funkce \(\ln\), vlastnosti exponenciální funkce, větu o limitě složené funkce a větu o spojitosti inverzní funkce.

  • Řešení 1.

    Co vědět chceme:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}= \ ?\]

    Přirozený logaritmus je definován jako inverzní funkce k funkci \(\exp\). Z toho vyplývá, že pokud položíme

    \[y = \ln(x+1),\]

    pak platí, že

    \[\exp(y) = x+1,\]

    a tudíž

    \[x = \exp(y)-1.\]

    Hledanou limitu tak lze převést na tvar

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x} = \lim_{y \to \,?}\frac{y}{\exp(y)-1},\]

    kde otazník v limitě určíme ze „substitučního“ vztahu

    \[y = \ln(x+1).\]

    Protože \(x\to 0\), je

    \[y\to \lim_{x\to 0}\ln(x+1) = \ln(0+1) = 0.\]

    To víme proto, že logaritmus je spojitá funkce, neboť je inverzní funkcí ke spojité funkci.

    Víme tedy nyní, že když \(x\to 0\), pak také \(y\to 0\) a můžeme pokračovat ve výpočtu

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x} \overset{*}{=} \lim_{y \to 0}\frac{y}{\exp(y)-1} = \]

    použitím limity, o níž předpokládáme, že je známá

    \[ = \lim_{y \to 0}\frac{1}{\frac{\exp(y)-1}{y}} = \frac{1}{\lim\limits_{y \to 0}\,\frac{\exp(y)-1}{y}} = 1.\]

    Tímto jsme dospěli k výsledku. Zbývá odůvodnit, že rovnost označená hvězdičkou platí, tedy že „substituce“ v limitě je korektní operací. K tomu nám poslouží věta o limitě složené funkce.

    Vnější funkcí v našem případě bude funkce

    \[f(y) = \frac{y}{\exp y-1},\]

    vnitřní funkcí funkce

    \[(y = ) \ g(x) = \ln(x+1).\]

    Naší úlohou je vypočítat limitu

    \[\lim_{x\to 0} f(g(x)) = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{\exp(\ln(x+1))-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x+1-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}.\]

    Výše jsme spočetli, že

    \[\lim_{x\to 0} g(x) = 0,\] \[\lim_{y\to 0} f(y) = 1.\]

    Kýžený závěr, totiž že

    \[\lim_{x\to 0} \ f(g(x)) = 1\]

    můžeme dle věty o limitě složené funkce učinit v případě, že

    1. Vnější funkce f je spojitá v bodě 0. To ale není pravda, funkce f není v bodě nula vůbec definována (ve zlomku se dělí nulou).

    2. Existuje prstencové okolí bodu 0 takové, aby

      \[g(x) \neq 0\]

      na tomto prstencovém okolí. Ukážeme, že tato podmínka splněna je. Jediné řešení rovnice

      \[g(x) = 0,\]

      po dosazení

      \[\ln(x+1) = 0\]

      je x = 0, neboť logaritmus je prostou funkcí na celém definičním oboru. Stačí tedy jako hledané prstencové okolí volit libovolné prstencové okolí nuly obsažené v definičním oboru funkce g, tedy např. interval \((-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\setminus\{0\}\).

  • Nápověda 2.

    Využijte předchozí limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln({x+1})}{x}=1\) a větu o limitě složené funkce.

  • Řešení 2.

    Co vědět chceme:

    \[\lim_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=?\]

    Položíme-li

    \[x = y+1,\]

    převedeme tuto limitu na tvar

    \[\lim_{y \to ?}\frac{\ln({y+1})}{y}.\]

    Otazník určíme takto: ze vztahu \(x = y+1\) máme, že

    \[ y = x-1.\]

    Pro \(x\to 1\) pak máme, že

    \[y\to \lim_{x\to 1} x-1 = 1-1 = 0.\]

    Můžeme tedy počítat

    \[\lim_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1} \overset{*}{=} \lim_{y \to 0}\frac{\ln({y+1})}{y} = 1,\]

    neboť druhou limitu jsme již spočetli výše.

    Pro odůvodnění rovnosti označené s hvězdičkou lze použít větu o limitě složené funkce. Použijeme ji na vnější funkci

    \[f(y) = \frac{\ln(y+1)}{y},\]

    a vnitřní funkci

    \[g(x) = x-1 \ ( = y).\]

    (Pro úplnost ověřme, že skládáme správné funkce. Vskutku je

    \[f(g(x)) = \frac{\ln(g(x)+1)}{g(x)} = \frac{\ln(x-1+1)}{x-1} = \frac{\ln x}{x-1}.)\]

    Jak jsme ukázali výše, je

    \[\lim_{x\to 1} g(x) = 0, \qquad \lim_{y\to 0} f(y) = 1,\]

    a tudíž rovnost

    \[\lim_{x\to 1} f(g(x)) = 1\]

    platí, pokud ověříme jednu z následujících podmínek:

    1. Vnější funkce je spojitá v bodě 0. To není pravda, neboť v tomto bodě není vůbec definována (ve zlomku se dělí nulou).

    2. Existuje prstencové okolí bodu 1, na němž vnitřní funkce g nenabývá své limitní hodnoty v bodě 1, tedy nuly.

      To pravda je, protože \(g(x) = x-1\neq 0\) na libovolném prstencovém okolí bodu 1.

  • Nápověda 3.

    Využijte známou limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\), větu o aritmetice limit pro funkce a definici funkce \(\mathrm{tg}\,\).

  • Řešení 3.

    Hledáme limitu funkce

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\,{x}}{x}=?\]

    Dle definice funkce tangens můžeme psát

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\tan{x}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} \cdot \frac{1}{\cos{x}} = \]

    což je dle věty o aritmetice limit rovno

    \[ = \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos{x}}= \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}\cdot \frac{1}{ \lim\limits_{x \to 0} \cos{x}}= 1\centerdot \frac{1}{\cos \,0} = 1,\]

    neboť funkce kosinus je spojitá (na celém definičním oboru, tedy speciálně v bodě 0).

    Čímž je výpočet dokončen.

  • Řešení 4.

  • Řešení 5.

  • Nápověda 6.

    Využijte limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\) a vlastností goniometrických funkcí.

  • Řešení 6.

    Počítáme limitu

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=?\]

    Pomocí vhodného rozšíření a věty o aritmetice limit můžeme psát

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin^{2}x}\cdot\frac{\sin^{2}x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{1-\cos^{2}x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^2}=\] \[=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+\cos{x}}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^2} = \] \[ = \frac{1}{\lim\limits_{x \to 0}\,(1+\cos{x})}\cdot\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \] \[ = \frac{1}{1+\cos \, 0}\centerdot 1 \centerdot 1 =\frac{1}{2},\]

    neboť funkce \(1+\cos x\) je součtem spojitých funkcí, a tudíž je spojitá na svém definičním oboru (speciálně tedy v bodě 0).

    Čímž je odvození limity dokončeno.

  • Řešení 7.

  • Řešení 8.

    Relativně snadné řešení je možné pomocí l’Hopitalova pravidla.

    Zde ukážeme, jak se lze obejít i bez něj. Uvědomte si, že tuto limitu lze převést na limitu řešenou v následující části 9. A to tak, že klademe

    \[x = e^y.\]

    Potom totiž

    \[\frac{\log^p x}{x^a} = \frac{\log^p e^y}{(e^y)^a} = \frac{y^p}{e^{ay}} = \frac{y^p}{(e^a)^y},\]

    kde vzhledem k podmínkám platí, že

    \[e^a > 1.\]

    Protože ze vztahu

    \[x = e^y\]

    vyplývá, že

    \[y = \ln x,\]

    a tudíž

    \[y \to \lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty.\]

    A protože \(y = \ln x\neq +\infty\) na žádném prstencovém okolí \(+\infty\), podle věty o limitě složené funkce máme, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\log^p x}{x^a} = \lim_{y\to +\infty} \frac{y^p}{(e^a)^y} = 0,\]

    pokud dokážeme limitu v následující části 9.

  • Řešení 9.

    Chceme dokázat, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^p}{a^x} = 0,\]

    za podmínek, že a > 1 a p je libovolné reálné číslo.

    V případě, že p < 0, stačí použít větu o aritmetice limit, neboť

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^p}{a^x} = \lim_{x\to +\infty} x^p \cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{a^x} = 0 {\cdot} 0 = 0.\]

    Podobně jednoduchý je případ, že p = 0

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^0}{a^x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{a^x} = 0.\]

    Předpokládejme tedy, že p > 0.

    Pišme limitu ve tvaru

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^p}{a^x} = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x}{a^{x/p}}\right)^p.\]

    Pokud se nám podaří ukázat, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{a^{x/p}} = 0,\]

    potom také původní limita je rovna nule, neboť mocninná funkce \((\cdot)^p\) je spojitá v nule zprava a zlomek \(\frac{x}{a^{x/p}}\) je kladný na nějakém prstencovém okolí plus nekonečna, např. na intervalu \((1,+\infty)\). Je tedy splněna (mírně modifikovaná) podmínka (S).

    Stačí tedy ukázat, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{a^{x/p}} = 0.\]

    Situaci můžeme ještě trochu zjednodušit, pokud píšeme

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{a^{x/p}} = p\cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{x/p}{a^{x/p}} \overset{*}{=} p\cdot \lim_{y\to +\infty} \frac{y}{a^y}.\]

    Hvědičková rovnost vyplývá z věty o limitě složené funkce, pokud ukážeme, že limita napravo existuje. Je to proto, že \(\lim_{x\to +\infty} x/p = +\infty\) (neboť číslo p je kladné) a faktu, že vnitřní funkce \(g(x) = x/p\) nenabývá na libovolném prstencovém okolí plus nekonečna hodnoty plus nekonečno, je tedy splněna podmínka (P).

    Došli jsme tedy k závěru, že stačí ukázat

    \[\lim_{y\to +\infty} \frac{y}{a^y} = 0.\]

    Učiníme tak z definice limity funkce. Chceme tedy ukázat, že pro libovolné \(\varepsilon > 0\) existuje číslo \(y_0\) tak, že pro všechna \(y > y_0\) platí

    \[\left|\frac{y}{a^y} - 0\right| < \varepsilon.\]

    Volme \(\varepsilon > 0 \) v tuto chvíli pevně.

    Omezíme-li se při hledání na kladná y, lze nerovnost psát ve tvaru

    \[\frac{y}{a^y} < \varepsilon.\]

    K důkazu lze využít například obdobné limity již dříve dokázané pro posloupnosti (viz úloha Limita posloupnosti - růstová škála

    \[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{a^n} = 0,\]

    ze které také ihned vyplývá, že platí též

    \[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{a^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{a^n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{a^n} = 0.\]

    Z definice limity posloupnosti vyplývá, že existuje přirozené číslo \(n_0\) tak, že pro každé větší přirozené číslo n je

    \[\frac{n+1}{a^n} < \varepsilon.\]

    Jestliže nyní uvažujeme libovolné \(y > n_0+1 \ =:y_0\), pak pro taková y platí, že

    \[\frac{y}{a^y} \leq \frac{[y]+1}{a^y} \leq \frac{[y]+1}{a^{[y]}} < \varepsilon,\]

    kde \([y]\) značí celou část, tedy de facto zaokrouhlení dolů, a proto poslední nerovnost plyne z dokázaného faktu pro přirozená čísla.

    (Potřebný fakt, totiž že exponenciální funkce je rostoucí, vyplývá ze zmíněné axiomatické definice exponenciální funkce.)

    Tím je důkaz hotov, neboť pro libovolně zvolené \(\varepsilon > 0\) jsme postupně ukázali existenci čísel \(n_0\) a od něj odvozeného \(y_0\) tak, aby požadovaná podmínka byla splněna.

  • Axiomatická definice exponenciální funkce

    Věta: Existence exponenciální funkce

    Existuje právě jedna reálná funkce \( \exp:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tak, že platí:

    1. \(D(f) = \mathbb{R}\)

    2. \(\forall x,y \in D(f): \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)\)

    3. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=1\)

    Připomeňme, že je zvykem psát \(e^x\) namísto \(\exp(x)\).

    První limita je tedy, jak již bylo uvedeno v zadání úlohy, součástí axiomatické definice exponenciální funkce.

  • Axiomatická definice goniometrických funkcí

    Věta o existenci funkce sinus, funkce kosinus a čísla π.

    Existuje právě jedna funkce \( \sin:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), právě jedna funkce \( \cos:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) a právě jedno číslo π \(\in \mathbb{R}\) tak, že platí:

    1. Funkce sinus i kosinus jsou definovány ve všech bodech množiny reálných čísel.

    2. Funkce \(\sin\) je lichá, funkce \(\cos\) je sudá.

    3. Funkce \(\sin\) je rostoucí na intervalu \(\left [ 0,\frac{\pi}{2} \right ]\) a platí, že

      \[\sin(0) = 0, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.\]
    4. Pro každé \( x,y \in \mathbb{R}\) platí

      \(\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y), \)

      \(\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).\)

    5. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1.\)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze