Přehled používaných užívaných limit funkcí
Úloha číslo: 1173
Dvě následující limity jsou součástí používaných axiomatických definic funkcí \(\exp\) a \(\sin\).
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\)
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\)
Považujte je tedy obě za známé. Pomocí nich odvoďte následující limity funkcí, které jsou často používané v jiných úlohách.
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}=1\)
- \(\lim\limits_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1\)
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\,{x}}{x}=1\)
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\arcsin{x}}{x}=1\)
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x}=1\)
- \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}\)
- \(\lim\limits_{x\to 1-} \frac{\arccos x}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{2}\)
- \(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\log^p x}{x^{a}}=0; a \gt 0, p \in R\)
- \(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^p}{a^{x}}=0; a \gt 1, p \in R\)
Odvoďte také tzv. limity růstové škály.
Věta o limitě složené funkce
V této úloze i v jiných úlohách na limitu funkce bude hojně využívána následující věta.
Věta o limitě složené funkce:
Nechť \( a \in \mathbb{R}^{*}\), kde \(\mathbb{R}^*\) značí reálnou osu rozšířenou o plus a minus nekonečno. Nechť funkce \(f,g\) splňují:
\[\lim_{x \to a} g(x)=A \in \mathbb{R}^{*};\lim_{y \to A} f(y)=B \in \mathbb{R}^{*} \]
A nechť platí alespoň jedna z podmínek (symbolem \(P(a)\) se míní prstencové okolí bodu \(a\)):
(P): \(\exists P(a)\ \forall x \in P(a):g(x)\ne A\),
(S): funkce f je spojitá v bodě \(A\).
Potom platí, že
\[\lim_{x \to a} \ f(g(x)) = B.\]Nápověda 1.
Vyjděte z limity, kterou považujeme za známou
\[\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.\]Použijte definici funkce \(\ln\), vlastnosti exponenciální funkce, větu o limitě složené funkce a větu o spojitosti inverzní funkce.
Řešení 1.
Co vědět chceme:
\[\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}= \ ?\]
Přirozený logaritmus je definován jako inverzní funkce k funkci \(\exp\). Z toho vyplývá, že pokud položíme
\[y = \ln(x+1),\]pak platí, že
\[\exp(y) = x+1,\]a tudíž
\[x = \exp(y)-1.\]Hledanou limitu tak lze převést na tvar
\[\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x} = \lim_{y \to \,?}\frac{y}{\exp(y)-1},\]kde otazník v limitě určíme ze „substitučního“ vztahu
\[y = \ln(x+1).\]Protože \(x\to 0\), je
\[y\to \lim_{x\to 0}\ln(x+1) = \ln(0+1) = 0.\]To víme proto, že logaritmus je spojitá funkce, neboť je inverzní funkcí ke spojité funkci.
Víme tedy nyní, že když \(x\to 0\), pak také \(y\to 0\) a můžeme pokračovat ve výpočtu
\[\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x} \overset{*}{=} \lim_{y \to 0}\frac{y}{\exp(y)-1} = \]použitím limity, o níž předpokládáme, že je známá
\[ = \lim_{y \to 0}\frac{1}{\frac{\exp(y)-1}{y}} = \frac{1}{\lim\limits_{y \to 0}\,\frac{\exp(y)-1}{y}} = 1.\]Tímto jsme dospěli k výsledku. Zbývá odůvodnit, že rovnost označená hvězdičkou platí, tedy že „substituce“ v limitě je korektní operací. K tomu nám poslouží věta o limitě složené funkce.
Vnější funkcí v našem případě bude funkce
\[f(y) = \frac{y}{\exp y-1},\]vnitřní funkcí funkce
\[(y = ) \ g(x) = \ln(x+1).\]Naší úlohou je vypočítat limitu
\[\lim_{x\to 0} f(g(x)) = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{\exp(\ln(x+1))-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x+1-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}.\]Výše jsme spočetli, že
\[\lim_{x\to 0} g(x) = 0,\] \[\lim_{y\to 0} f(y) = 1.\]Kýžený závěr, totiž že
\[\lim_{x\to 0} \ f(g(x)) = 1\]můžeme dle věty o limitě složené funkce učinit v případě, že
Vnější funkce f je spojitá v bodě 0. To ale není pravda, funkce f není v bodě nula vůbec definována (ve zlomku se dělí nulou).
Existuje prstencové okolí bodu 0 takové, aby
\[g(x) \neq 0\]na tomto prstencovém okolí. Ukážeme, že tato podmínka splněna je. Jediné řešení rovnice
\[g(x) = 0,\]po dosazení
\[\ln(x+1) = 0\]je x = 0, neboť logaritmus je prostou funkcí na celém definičním oboru. Stačí tedy jako hledané prstencové okolí volit libovolné prstencové okolí nuly obsažené v definičním oboru funkce g, tedy např. interval \((-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\setminus\{0\}\).
Nápověda 2.
Využijte předchozí limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln({x+1})}{x}=1\) a větu o limitě složené funkce.
Řešení 2.
Co vědět chceme:
\[\lim_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1}=?\]Položíme-li
\[x = y+1,\]převedeme tuto limitu na tvar
\[\lim_{y \to ?}\frac{\ln({y+1})}{y}.\]Otazník určíme takto: ze vztahu \(x = y+1\) máme, že
\[ y = x-1.\]Pro \(x\to 1\) pak máme, že
\[y\to \lim_{x\to 1} x-1 = 1-1 = 0.\]Můžeme tedy počítat
\[\lim_{x \to 1}\frac{\ln{x}}{x-1} \overset{*}{=} \lim_{y \to 0}\frac{\ln({y+1})}{y} = 1,\]neboť druhou limitu jsme již spočetli výše.
Pro odůvodnění rovnosti označené s hvězdičkou lze použít větu o limitě složené funkce. Použijeme ji na vnější funkci
\[f(y) = \frac{\ln(y+1)}{y},\]a vnitřní funkci
\[g(x) = x-1 \ ( = y).\](Pro úplnost ověřme, že skládáme správné funkce. Vskutku je
\[f(g(x)) = \frac{\ln(g(x)+1)}{g(x)} = \frac{\ln(x-1+1)}{x-1} = \frac{\ln x}{x-1}.)\]Jak jsme ukázali výše, je
\[\lim_{x\to 1} g(x) = 0, \qquad \lim_{y\to 0} f(y) = 1,\]a tudíž rovnost
\[\lim_{x\to 1} f(g(x)) = 1\]platí, pokud ověříme jednu z následujících podmínek:
Vnější funkce je spojitá v bodě 0. To není pravda, neboť v tomto bodě není vůbec definována (ve zlomku se dělí nulou).
Existuje prstencové okolí bodu 1, na němž vnitřní funkce g nenabývá své limitní hodnoty v bodě 1, tedy nuly.
To pravda je, protože \(g(x) = x-1\neq 0\) na libovolném prstencovém okolí bodu 1.
Nápověda 3.
Využijte známou limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\), větu o aritmetice limit pro funkce a definici funkce \(\mathrm{tg}\,\).
Řešení 3.
Hledáme limitu funkce
\[\lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{tg}\,{x}}{x}=?\]
Dle definice funkce tangens můžeme psát
\[\lim_{x \to 0}\frac{\tan{x}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x} \cdot \frac{1}{\cos{x}} = \]což je dle věty o aritmetice limit rovno
\[ = \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos{x}}= \lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}\cdot \frac{1}{ \lim\limits_{x \to 0} \cos{x}}= 1\centerdot \frac{1}{\cos \,0} = 1,\]
neboť funkce kosinus je spojitá (na celém definičním oboru, tedy speciálně v bodě 0).
Čímž je výpočet dokončen.
Řešení 4.
Řešení viz. Základní limity cyklometrických funkcí část a)
Řešení 5.
Řešení viz. Základní limity cyklometrických funkcí část c)
Nápověda 6.
Využijte limitu \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1\) a vlastností goniometrických funkcí.
Řešení 6.
Počítáme limitu
\[\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=?\]
Pomocí vhodného rozšíření a věty o aritmetice limit můžeme psát
\[\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin^{2}x}\cdot\frac{\sin^{2}x}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{1-\cos^{2}x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^2}=\] \[=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+\cos{x}}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^2} = \] \[ = \frac{1}{\lim\limits_{x \to 0}\,(1+\cos{x})}\cdot\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \] \[ = \frac{1}{1+\cos \, 0}\centerdot 1 \centerdot 1 =\frac{1}{2},\]neboť funkce \(1+\cos x\) je součtem spojitých funkcí, a tudíž je spojitá na svém definičním oboru (speciálně tedy v bodě 0).
Čímž je odvození limity dokončeno.
Řešení 7.
Řešení viz Základní limity cyklometrických funkcí část b)
Řešení 8.
Relativně snadné řešení je možné pomocí l’Hopitalova pravidla.
Zde ukážeme, jak se lze obejít i bez něj. Uvědomte si, že tuto limitu lze převést na limitu řešenou v následující části 9. A to tak, že klademe
\[x = e^y.\]Potom totiž
\[\frac{\log^p x}{x^a} = \frac{\log^p e^y}{(e^y)^a} = \frac{y^p}{e^{ay}} = \frac{y^p}{(e^a)^y},\]kde vzhledem k podmínkám platí, že
\[e^a > 1.\]Protože ze vztahu
\[x = e^y\]vyplývá, že
\[y = \ln x,\]a tudíž
\[y \to \lim_{x\to+\infty} \ln x = +\infty.\]A protože \(y = \ln x\neq +\infty\) na žádném prstencovém okolí \(+\infty\), podle věty o limitě složené funkce máme, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\log^p x}{x^a} = \lim_{y\to +\infty} \frac{y^p}{(e^a)^y} = 0,\]pokud dokážeme limitu v následující části 9.
Řešení 9.
Chceme dokázat, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^p}{a^x} = 0,\]za podmínek, že a > 1 a p je libovolné reálné číslo.
V případě, že p < 0, stačí použít větu o aritmetice limit, neboť
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^p}{a^x} = \lim_{x\to +\infty} x^p \cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{a^x} = 0 {\cdot} 0 = 0.\]Podobně jednoduchý je případ, že p = 0
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^0}{a^x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{a^x} = 0.\]Předpokládejme tedy, že p > 0.
Pišme limitu ve tvaru
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x^p}{a^x} = \lim_{x\to +\infty} \left(\frac{x}{a^{x/p}}\right)^p.\]Pokud se nám podaří ukázat, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{a^{x/p}} = 0,\]potom také původní limita je rovna nule, neboť mocninná funkce \((\cdot)^p\) je spojitá v nule zprava a zlomek \(\frac{x}{a^{x/p}}\) je kladný na nějakém prstencovém okolí plus nekonečna, např. na intervalu \((1,+\infty)\). Je tedy splněna (mírně modifikovaná) podmínka (S).
Stačí tedy ukázat, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{a^{x/p}} = 0.\]Situaci můžeme ještě trochu zjednodušit, pokud píšeme
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{a^{x/p}} = p\cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{x/p}{a^{x/p}} \overset{*}{=} p\cdot \lim_{y\to +\infty} \frac{y}{a^y}.\]Hvědičková rovnost vyplývá z věty o limitě složené funkce, pokud ukážeme, že limita napravo existuje. Je to proto, že \(\lim_{x\to +\infty} x/p = +\infty\) (neboť číslo p je kladné) a faktu, že vnitřní funkce \(g(x) = x/p\) nenabývá na libovolném prstencovém okolí plus nekonečna hodnoty plus nekonečno, je tedy splněna podmínka (P).
Došli jsme tedy k závěru, že stačí ukázat
\[\lim_{y\to +\infty} \frac{y}{a^y} = 0.\]Učiníme tak z definice limity funkce. Chceme tedy ukázat, že pro libovolné \(\varepsilon > 0\) existuje číslo \(y_0\) tak, že pro všechna \(y > y_0\) platí
\[\left|\frac{y}{a^y} - 0\right| < \varepsilon.\]Volme \(\varepsilon > 0 \) v tuto chvíli pevně.
Omezíme-li se při hledání na kladná y, lze nerovnost psát ve tvaru
\[\frac{y}{a^y} < \varepsilon.\]K důkazu lze využít například obdobné limity již dříve dokázané pro posloupnosti (viz úloha Limita posloupnosti - růstová škála
\[\lim_{n\to\infty} \frac{n}{a^n} = 0,\]ze které také ihned vyplývá, že platí též
\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{a^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{a^n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{a^n} = 0.\]Z definice limity posloupnosti vyplývá, že existuje přirozené číslo \(n_0\) tak, že pro každé větší přirozené číslo n je
\[\frac{n+1}{a^n} < \varepsilon.\]Jestliže nyní uvažujeme libovolné \(y > n_0+1 \ =:y_0\), pak pro taková y platí, že
\[\frac{y}{a^y} \leq \frac{[y]+1}{a^y} \leq \frac{[y]+1}{a^{[y]}} < \varepsilon,\]kde \([y]\) značí celou část, tedy de facto zaokrouhlení dolů, a proto poslední nerovnost plyne z dokázaného faktu pro přirozená čísla.
(Potřebný fakt, totiž že exponenciální funkce je rostoucí, vyplývá ze zmíněné axiomatické definice exponenciální funkce.)
Tím je důkaz hotov, neboť pro libovolně zvolené \(\varepsilon > 0\) jsme postupně ukázali existenci čísel \(n_0\) a od něj odvozeného \(y_0\) tak, aby požadovaná podmínka byla splněna.
Axiomatická definice exponenciální funkce
Věta: Existence exponenciální funkce
Existuje právě jedna reálná funkce \( \exp:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tak, že platí:
1. \(D(f) = \mathbb{R}\)
2. \(\forall x,y \in D(f): \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)\)
3. \(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\exp(x)-1}{x}=1\)
Připomeňme, že je zvykem psát \(e^x\) namísto \(\exp(x)\).
První limita je tedy, jak již bylo uvedeno v zadání úlohy, součástí axiomatické definice exponenciální funkce.
Axiomatická definice goniometrických funkcí
Věta o existenci funkce sinus, funkce kosinus a čísla π.
Existuje právě jedna funkce \( \sin:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), právě jedna funkce \( \cos:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) a právě jedno číslo π \(\in \mathbb{R}\) tak, že platí:
Funkce sinus i kosinus jsou definovány ve všech bodech množiny reálných čísel.
Funkce \(\sin\) je lichá, funkce \(\cos\) je sudá.
Funkce \(\sin\) je rostoucí na intervalu \(\left [ 0,\frac{\pi}{2} \right ]\) a platí, že
\[\sin(0) = 0, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.\]Pro každé \( x,y \in \mathbb{R}\) platí
\(\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y), \)
\(\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).\)
\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1.\)
