Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Odmocninová substituce I.

Úloha číslo: 1506

Určete pomocí odmocninové substituce

\[I=\int\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx\]
  • Motivace

    Často se nám při řešení integrálů stává, že jsme nuceni integrovat výrazy obsahující jednu či více odmocnin.

    Nejpoužívanější metodou pro vypořádání se z odmocninami při integraci je právě odmocninová nebo Eulerova substituce.

    Dalšími užívanými metodami jsou ve speciálních případech například goniometrické substituce (Goniometrické substituce 1.) nebo substituce hyperbolické (Hyperbolická substituce).

    V této úloze si předvedeme jednu ze základních odmocninových substitucí.

    substituce

    Nachází-li se pod odmocninami integrovaného výrazu pouze tytéž polynomi stupně jedna \(P_1(x)=ax+b\), zavádíme substituci

    \[t^n={ax+b}\]

    kde \(n\) je nejmenší společný násobek stupňů substituovaných odmocnin.

    Sami uvidíme, že tato substituce vede k následnému odstranění substituovaných odmocnin.

    Mějme ovšem na paměti, že integrovaný výraz proměnné \(x\) převádíme na integrovaný výraz proměnné \(t\), stejně jako tomu bylo v případě obyčejných substitucí (Substituce).

  • Substituce

    Vhodně zvolte substituci pro likvidaci odmocnin v integrovaném výrazu.

  • Integrace

    Vhodně zvolenou integrační metodou substituovaný integrál proměnné \(t\) vyřešte.

  • Řešení

    V souladu s motivačním textem úlohy určujeme substituci jako

    \[t^n=ax+b\]

    konkrétně v našem případě se pod oběma odmocninami nachází pouze \(x\) a tedy

    \[t^2=x\]

    kde \(n=2\), neboť stupeň obou odmocnin je totožný a sice právě dva.

    Abychom od integrálu proměnné \(x\) přešli k integrálu proměnné \(t\) je třeba dále vyjádřit derivaci \(x\) podle proměnné \(t\), což uděláme následovně

    \[t^2=x\] \[x=t^2\] \[dx=2tdt\]

    Získané dosadíme do původního výrazu, čímž získáme

    \[I=\int\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=\int\frac{1-t}{1+t}2tdt=\] \[=2\int\frac{(1-t)t}{1+t}dt\]

    Jedná se o lomenou polynomiální funkci, integrál proto budeme řešit metodami osvojenými z úlohy Integrace lomené racionální funkce I..

    Jelikož je stupeň polynomu v čiteteli o jedna vyšší než stupeň polynomu ve jmenovateli, celý výraz nejprve upravíme za pomoci dělení polanomů následovně

    \[\frac{(1-t)t}{1+t}=-\frac{t(t-1)}{1+t}=-\frac{t(t-1+1-1)}{1+t}=\] \[=-\frac{t(t+1-2)}{1+t}=-\frac{t(t+1)-2t}{1+t}=-\frac{t(t+1)-2(t+1-1)}{1+t}=\] \[=-\frac{t(t+1)-2(t+1)+2}{1+t}=-\frac{t(t+1)}{1+t}-\frac{-2(t+1)}{1+t}-\frac{+2}{1+t}=\] \[=-t+2-\frac{2}{1+t}\]

    Polynomi jsme dělili pomocí chytré nuly, jak zachycuje úloha Dělení polynomu polynomem pomocí Chytré nuly.

    Za pomoci námi získaného výše uvedeného tvaru tedy řešený integrál přepisujeme jako

    \[I=2\int\frac{(1-t)t}{1+t}dt=2\int \bigg(-t+2-\frac{2}{1+t} \bigg) dt=\]

    a díky linearitě integrálu pak

    \[=-2\int tdt +4\int 1 dt -4 \int\frac{1}{1+t}dt=\]

    V případě prvních dvou integrálů se jedná o tabulkový integrál \(\int w^n dw = \frac{w^n+1}{n+1}+c;c \in \mathbb{R}, n \ne 1\).

    Třetí z integrálů budeme muset řešit pomocí substituce \(a=1+t\) vedoucí na tabulkový integrál \(\int \frac{1}{w} dw = \ln{|w|}+c;c \in \mathbb{R}\) (viz úloha Substituce).

    Pro první dva integrály tak dostáváme

    \[-2\int tdt=-2\frac{t^2}{2}+c=-t^2+c\] \[4\int 1 dt=4t+c\]

    pro integrál třetí pak

    \[J=-4 \int\frac{1}{1+t}dt\] \[a=1+t\] \[da=dt\] \[J=-4 \int\frac{1}{a}da=-4\ln{|a|}+c=-4\ln{|1+t|}+c\]

    Všechna tři získaná řešení dosazujeme do původní rovnosti a získáváme

    \[I=-2\int tdt +4\int dt -4 \int\frac{1}{1+t}dt=\] \[=-t^2+4t-4\ln{|1+t|}+c\]

    Nakonec pak provedeme zpětnou substituci \(t^2=x \rightarrow t=\sqrt{x}\)

    \[I=-(\sqrt{x})^2+4\sqrt{x}-4\ln{|1+\sqrt{x}|}+c=\] \[=-x+4\sqrt{x}-4\ln{|1+\sqrt{x}|}+c;c\in \mathbb{R}\]

    což je i výsledným řešením celé úlohy.

  • Výsledek

    \[I=-x+4\sqrt{x}-4\ln{|1+\sqrt{x}|}+c;c\in \mathbb{R}\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze