Výpočet minimálního objemu vody

Úloha číslo: 487

Sice obvykle uvažujeme, že se objem kapaliny mění s rostoucí teplotou lineárně, ale ve skutečnosti je tento vztah pouze přibližný. Složitější vztahy nám mohou závislost objemu kapaliny na teplotě popsat přesněji.

Předpokládejme tedy, že objem kapaliny závisí na teplotě vztahem

V = V0(1 + At + Bt2 + Ct3),

do kterého dosazujeme teplotu ve stupních Celsia. Pro vodu v teplotním intervalu 0 °C až 33 °C jsou hodnoty empiricky zjištěných konstant následující:

A = − 6,427·10−5,

B = 8,5053·10−6,

C = − 6,79·10−8.

Určete, pro jakou teplotu z uvedeného intervalu je objem vody minimální.

  • Nápověda

    K určení minimálního objemu můžeme použít derivaci, stejně jako se pomocí derivace určuje minimum funkce.

  • Rozbor

    Uvedený vztah nám dává funkční závislost objemu na teplotě. Minimum určíme pomocí první derivace. Minimum se může nacházet v bodech, kde je první derivace rovna nule, derivace neexistuje nebo v krajních bodech intervalu.

    Funkci tedy zderivujeme podle teploty a položíme její derivaci rovnu nule. Tím dostaneme rovnici, kterou vyřešíme. Vezmeme v úvahu pouze ty kořeny, které leží v intervalu, na kterém je daná funkce platná, ty, které v daném intervalu neleží, vyloučíme. Pro kořeny, které v daném intervalu leží, vypočítáme ještě druhou derivaci. Pokud je kladná, víme, že jde o lokální minimum. Hodnotu v tomto bodě ještě porovnáme s hodnotami v krajních bodech. Nejmenší z těchto hodnot je minimem funkce na daném intervalu.

  • Zápis

    V = V0(1 + At + Bt2 + Ct3) vztah pro závislost objemu kapaliny na teplotě v teplotním intervalu 0 °C až 33 °C (teplota se dosazuje ve °C)
    A = − 6,427·10−5 hodnota konstanty A
    B = 8,5053·10−6 hodnota konstanty B
    C = − 6,79·10−8 hodnota konstanty C
    t = ? teplota, pro kterou je objem vody minimální v uvažovaném teplotním intervalu
  • Řešení

    Uvedený vztah nám udává funkční závislost objemu na teplotě. Extrém funkce určíme obecně tak, že ji zderivujeme:

    \[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=V_0\left(A+2Bt+3Ct^2\right)\,\]

    a derivaci položímeme rovnu nule:

    \[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=0,\] \[3Ct^2+2Bt+A=0.\]

    Nyní jsme dospěli ke kvadratické rovnici, která má dvě řešení:

    \[t_{1{,}2}=\frac{-2B\pm\sqrt{4B^2-12AC}}{6C}\,.\]

    Dosazením za konstanty A,B a C získáme kořeny t1 a t2:

    \[t_{1{,}2}=\frac{-2B\pm\sqrt{4B^2-12AC}}{6C}=\] \[=\small \frac{-2\cdot{8{,}5053}\cdot{10^{-6}}\pm\sqrt{4\cdot\left(8{,}5053\cdot{10^{-6}}\right)^2-12\cdot{6{,}427}\cdot{10^{-6}}\cdot{6{,}79}\cdot{10^{-8}}}}{-6\cdot{6{,}79}\cdot{10^{-8}}}{\,}^{\circ}\mathrm{C}\] \[t_1=3{,}967\,^{\circ}\mathrm{C}\] \[t_2=-79{,}28\,^{\circ}\mathrm{C}\]

    Kořen t2 zjevně neleží v daném teplotním intervalu, a proto jej dále neuvažujeme. Hodnota kořene t1 se v daném intervalu nachází, musíme však ještě ověřit, zda se opravdu jedná o minimum dané funkce. To provedeme pomocí druhé derivace:

    \[\frac{\mathrm{d^2}V}{\mathrm{d}t^2}=V_0\left(2B+6Ct\right)\,.\]

    Do které dosadíme kořen t1:

    \[\frac{\mathrm{d^2}V}{\mathrm{d}t^2}\left(t_1\right)=V_0\left(2B+6Ct_1\right)=\] \[=V_0\left(2\cdot{8{,}5053}\cdot{10^{-6}}+{6}\cdot{6{,}79}\cdot{10^{-8}}\cdot{3{,}967}\right)=V_0\cdot{1{,}53}\cdot{10^{-5}}\]

    Vidíme, že druhá derivace je v uvažovaném bodě kladná (objem V0 je určitě kladný), což znamená, že funkce zde opravdu nabývá svého lokálního minima.

     

    Protože minimum hledáme na uzavřeném teplotním intervalu, musíme ověřit, jestli funkce nenabývá ještě menších hodnot v jeho krajních bodech.

    Pro teplotu t = 0 °C dostáváme:

    \[V=V_0,\]

    pro teplotu t = 30 °C dostáváme:

    \[ V=V_0(1+30A+30^2B+30^3C)=1{,}0039V_0 \]

    a konečně pro teplotu t = 3,967 °C dostáváme:

    \[ V=V_0(1+3{,}967A+3{,}967^2B+3{,}967^3C)=0{,}9999 V_0. \]

    Objem nabývá minima opravdu při teplotě 3,967 °C.

  • Odpověď

    Objem vody je minimální pro teplotu 3,967 °C.

  • Pro zajímavost

    Voda je výjimkou mezi kapalinami, neboť její objem mezi 0 °C a přibližně 4 °C s rostoucí teplotou klesá, teprve pro vyšší teploty začne růst. Jedná se o jednu z z tzv. anomálií vody.

    Díky této anomálii mohou přežívat různé ekosystémy. Voda má největší hustotu při necelých 4 °C a drží se tedy u dna. Díky tomu rybníky zamrzají od hladiny a nikoli ode dna a málokdy promrznou až ke dnu, kde mohou v zimě tyto ekosystémy přežít.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze