Sbírka řešených úloh

Výpočet minimálního objemu vody

Úloha číslo: 487

• Nápověda

  K určení minimálního objemu můžeme použít derivaci, stejně jako se pomocí derivace určuje minimum funkce.

• Rozbor

  Uvedený vztah nám dává funkční závislost objemu na teplotě. Minimum určíme pomocí první derivace. Minimum se může nacházet v bodech, kde je první derivace rovna nule, derivace neexistuje nebo v krajních bodech intervalu.

  Funkci tedy zderivujeme podle teploty a položíme její derivaci rovnu nule. Tím dostaneme rovnici, kterou vyřešíme. Vezmeme v úvahu pouze ty kořeny, které leží v intervalu, na kterém je daná funkce platná, ty, které v daném intervalu neleží, vyloučíme. Pro kořeny, které v daném intervalu leží, vypočítáme ještě druhou derivaci. Pokud je kladná, víme, že jde o lokální minimum. Hodnotu v tomto bodě ještě porovnáme s hodnotami v krajních bodech. Nejmenší z těchto hodnot je minimem funkce na daném intervalu.

• Zápis

  V = V0(1 + At + Bt2 + Ct3)	vztah pro závislost objemu kapaliny na teplotě v teplotním intervalu 0 °C až 33 °C (teplota se dosazuje ve °C)
  A = − 6,427·10−5	hodnota konstanty A
  B = 8,5053·10−6	hodnota konstanty B
  C = − 6,79·10−8	hodnota konstanty C
  t = ?	teplota, pro kterou je objem vody minimální v uvažovaném teplotním intervalu

• Řešení

  Uvedený vztah nám udává funkční závislost objemu na teplotě. Extrém funkce určíme obecně tak, že ji zderivujeme:

  \[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=V_0\left(A+2Bt+3Ct^2\right)\,\]

  a derivaci položímeme rovnu nule:

  \[\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=0,\] \[3Ct^2+2Bt+A=0.\]

  Nyní jsme dospěli ke kvadratické rovnici, která má dvě řešení:

  \[t_{1{,}2}=\frac{-2B\pm\sqrt{4B^2-12AC}}{6C}\,.\]

  Dosazením za konstanty A,B a C získáme kořeny t₁ a t₂:

  \[t_{1{,}2}=\frac{-2B\pm\sqrt{4B^2-12AC}}{6C}=\] \[=\small \frac{-2\cdot{8{,}5053}\cdot{10^{-6}}\pm\sqrt{4\cdot\left(8{,}5053\cdot{10^{-6}}\right)^2-12\cdot{6{,}427}\cdot{10^{-6}}\cdot{6{,}79}\cdot{10^{-8}}}}{-6\cdot{6{,}79}\cdot{10^{-8}}}{\,}^{\circ}\mathrm{C}\] \[t_1=3{,}967\,^{\circ}\mathrm{C}\] \[t_2=-79{,}28\,^{\circ}\mathrm{C}\]

  Kořen t₂ zjevně neleží v daném teplotním intervalu, a proto jej dále neuvažujeme. Hodnota kořene t₁ se v daném intervalu nachází, musíme však ještě ověřit, zda se opravdu jedná o minimum dané funkce. To provedeme pomocí druhé derivace:

  \[\frac{\mathrm{d^2}V}{\mathrm{d}t^2}=V_0\left(2B+6Ct\right)\,.\]

  Do které dosadíme kořen t₁:

  \[\frac{\mathrm{d^2}V}{\mathrm{d}t^2}\left(t_1\right)=V_0\left(2B+6Ct_1\right)=\] \[=V_0\left(2\cdot{8{,}5053}\cdot{10^{-6}}+{6}\cdot{6{,}79}\cdot{10^{-8}}\cdot{3{,}967}\right)=V_0\cdot{1{,}53}\cdot{10^{-5}}\]

  Vidíme, že druhá derivace je v uvažovaném bodě kladná (objem V₀ je určitě kladný), což znamená, že funkce zde opravdu nabývá svého lokálního minima.

   

  Protože minimum hledáme na uzavřeném teplotním intervalu, musíme ověřit, jestli funkce nenabývá ještě menších hodnot v jeho krajních bodech.

  Pro teplotu t = 0 °C dostáváme:

  \[V=V_0,\]

  pro teplotu t = 30 °C dostáváme:

  \[ V=V_0(1+30A+30^2B+30^3C)=1{,}0039V_0 \]

  a konečně pro teplotu t = 3,967 °C dostáváme:

  \[ V=V_0(1+3{,}967A+3{,}967^2B+3{,}967^3C)=0{,}9999 V_0. \]

  Objem nabývá minima opravdu při teplotě 3,967 °C.

• Odpověď

  Objem vody je minimální pro teplotu 3,967 °C.

• Pro zajímavost

  Voda je výjimkou mezi kapalinami, neboť její objem mezi 0 °C a přibližně 4 °C s rostoucí teplotou klesá, teprve pro vyšší teploty začne růst. Jedná se o jednu z tzv. anomálií vody.

  Díky této anomálii mohou přežívat různé ekosystémy. Voda má největší hustotu při necelých 4 °C a drží se tedy u dna. Díky tomu rybníky zamrzají od hladiny a nikoli ode dna a málokdy promrznou až ke dnu, kde mohou v zimě tyto ekosystémy přežít.

• Odkaz na pokus

  Úlohu lze propojit s experimentem Hopeho experiment: Anomálie vody.