Chladící stroj 2
Úloha číslo: 437
Ideální chladící stroj pracující podle Carnotova cyklu předává teplo z chladiče s vodou o teplotě 0 °C ohřívači obsahujícímu vodu o teplotě 100 °C. Jak velké množství vody je nutné zmrazit v chladiči, aby se v ohřívači změnila voda o hmotnosti 1 kg v páru o teplotě stále 100 °C?
Nápověda
Vyjděte z toho, že teplo Qdod dodané vodě v ohřívači je rovno součtu tepla Qod odebraného vodě v chladiči a práce W vykonané při přenosu tepla z chladiče do ohřívače. Platí tedy vztah
\[Q_{dod}=Q_{od}+W.\]Rozmyslete si, jak lze tyto neznámé veličiny vyjádřit pomocí zadaných veličin.
Zápis
t1 = 0 °C => T1 = 273,15 K teplota vody v chladiči t2 = 100 °C => T2 = 373,15 K teplota vody v ohřívači m2 = 1 kg hmotnost vody v ohřívači m1 = ? hmotnost vody v chladiči Z tabulek:
lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tání vody lv = 2256 kJ kg−1 = 2256·103 J kg−1 měrné skupenské teplo vypařování vody Rozbor
Vyjdeme z toho, že teplo dodané vodě v ohřívači je rovno součtu tepla odebraného vodě v chladiči a práce vykonané při přenosu tepla z chladiče do ohřívače. Uvedené veličiny následně vyjádříme pomocí zadaných veličin.
Vykonaná práce je rovna součinu účinnosti Carnotova stroje a odebraného tepla. Účinnost Carnotova stroje závisí jen na teplotách vody v chladiči a v ohřívači.
Teplo dodané vypařující se vodě je definováno jako součin hmotnosti vody v ohřívači a jejího měrného skupenského tepla vypařování.
Teplo odebrané vodě v chladiči je analogicky definováno jako součin hmotnosti vody v chladiči a jejího měrného skupenského tepla tání.
Řešení
Teplo Qdod dodané vodě v ohřívači je rovno součtu tepla Qod odebraného vodě v chladiči a práce W vykonané při přenosu tepla z chladiče do ohřívače:
\[Q_{dod}=Q_{od}+W.\]Mezi prací W a množstvím odebraného tepla Qod dále platí vztah
\[W=\eta Q_{od},\]kde η je účinnost stroje. Ta se pro ideální Carnotův chladící stroj definuje vzorcem
\[\eta = \frac{T_2-T_1}{T_1},\]kde T1 je teplota vody v chladiči a T2 teplota vody v ohřívači.
Dosazením do původního vzorce dostáváme:
\[Q_{dod}=Q_{od}+W= Q_{od}+\eta Q_{od} = \left(1+\frac{T_2-T_1}{T_1}\right)Q_{od}\]a po úpravě
\[Q_{dod}= \frac{T_2}{T_1}Q_{od}.\]Pro teplo dodané vypařující se vodě platí v souladu s definicí měrného skupenského tepla vypařování lv vztah
\[Q_{dod}=m_2l_v,\]kde m2 je hmotnost vody v ohřívači.
Pro odebrané teplo pak analogicky platí
\[Q_{od}=m_1l_t,\]kde m1 je hmotnost vody v chladiči a lt měrné skupenské teplo tání vody.
Po dosazení
\[m_2l_v= \frac{T_2}{T_1}m_1l_t\]a úpravě dostáváme pro hledanou hmotnost m1 vody v chladiči výsledný vztah
\[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}.\]Číselné dosazení
\[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}\] \[m_1= \frac{1\cdot{ 2256}\cdot{ 10^3}\cdot273{,}15}{373{,}15\cdot {334}\cdot{ 10^3}}\,\mathrm{kg}\dot{=}5\,\mathrm{kg}\]Odpověď
V chladiči je třeba zmrazit přibližně 5 kg vody.
