Chladící stroj 2

Úloha číslo: 437

Ideální chladící stroj pracující podle Carnotova cyklu předává teplo z chladiče s vodou o teplotě 0 °C ohřívači obsahujícímu vodu o teplotě 100 °C. Jak velké množství vody je nutné zmrazit v chladiči, aby se v ohřívači změnila voda o hmotnosti 1 kg v páru o teplotě stále 100 °C?

  • Nápověda

    Vyjděte z toho, že teplo Qdod dodané vodě v ohřívači je rovno součtu tepla Qod odebraného vodě v chladiči a práce W vykonané při přenosu tepla z chladiče do ohřívače. Platí tedy vztah

    \[Q_{dod}=Q_{od}+W.\]

    Rozmyslete si, jak lze tyto neznámé veličiny vyjádřit pomocí zadaných veličin.

  • Zápis

    t1 = 0 °C => T1 = 273,15 K teplota vody v chladiči
    t2 = 100 °C => T2 = 373,15 K teplota vody v ohřívači
    m2 = 1 kg hmotnost vody v ohřívači
    m1 = ? hmotnost vody v chladiči

    Z tabulek:

    lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tání vody
    lv = 2256 kJ kg−1 = 2256·103 J kg−1 měrné skupenské teplo vypařování vody
  • Rozbor

    Vyjdeme z toho, že teplo dodané vodě v ohřívači je rovno součtu tepla odebraného vodě v chladiči a práce vykonané při přenosu tepla z chladiče do ohřívače. Uvedené veličiny následně vyjádříme pomocí zadaných veličin.

    Vykonaná práce je rovna součinu účinnosti Carnotova stroje a odebraného tepla. Účinnost Carnotova stroje závisí jen na teplotách vody v chladiči a v ohřívači.

    Teplo dodané vypařující se vodě je definováno jako součin hmotnosti vody v ohřívači a jejího měrného skupenského tepla vypařování.

    Teplo odebrané vodě v chladiči je analogicky definováno jako součin hmotnosti vody v chladiči a jejího měrného skupenského tepla tání.

  • Řešení

    Teplo Qdod dodané vodě v ohřívači je rovno součtu tepla Qod odebraného vodě v chladiči a práce W vykonané při přenosu tepla z chladiče do ohřívače:

    \[Q_{dod}=Q_{od}+W.\]

    Mezi prací W a množstvím odebraného tepla Qod dále platí vztah

    \[W=\eta Q_{od},\]

    kde η je účinnost stroje. Ta se pro ideální Carnotův chladící stroj definuje vzorcem

    \[\eta = \frac{T_2-T_1}{T_1},\]

    kde T1 je teplota vody v chladiči a T2 teplota vody v ohřívači.

    Dosazením do původního vzorce dostáváme:

    \[Q_{dod}=Q_{od}+W= Q_{od}+\eta Q_{od} = \left(1+\frac{T_2-T_1}{T_1}\right)Q_{od}\]

    a po úpravě

    \[Q_{dod}= \frac{T_2}{T_1}Q_{od}.\]

    Pro teplo dodané vypařující se vodě platí v souladu s definicí měrného skupenského tepla vypařování lv vztah

    \[Q_{dod}=m_2l_v,\]

    kde m2 je hmotnost vody v ohřívači.

    Pro odebrané teplo pak analogicky platí

    \[Q_{od}=m_1l_t,\]

    kde m1 je hmotnost vody v chladiči a lt měrné skupenské teplo tání vody.

    Po dosazení

    \[m_2l_v= \frac{T_2}{T_1}m_1l_t\]

    a úpravě dostáváme pro hledanou hmotnost m1 vody v chladiči výsledný vztah

    \[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}.\]
  • Číselné dosazení

    \[m_1=\frac{m_2l_vT_1}{T_2l_t}\] \[m_1= \frac{1\cdot{ 2256}\cdot{ 10^3}\cdot273{,}15}{373{,}15\cdot {334}\cdot{ 10^3}}\,\mathrm{kg}\dot{=}5\,\mathrm{kg}\]
  • Odpověď

    V chladiči je třeba zmrazit přibližně 5 kg vody.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze