Ohřátí kuličky při nárazu do dřevěného terče
Úloha číslo: 483
Olověná kulička o hmotnosti 20 g narazí na masivní dřevěný terč rychlostí 100 m s−1 a zastaví se v něm. Určete zvýšení teploty kuličky, předpokládáme-li, že kuličkou jsou pohlceny dvě třetiny z celkové uvolněné energie.
Nápověda
Před nárazem měla kulička nenulovou kinetickou energii. Po zastavení kuličky v dřevěném terči klesla kinetická energie na nulu. V zadání je řečeno, že kulička pohltila dvě třetiny této energie.
Na jakou energii se kinetická energie přeměnila? Jak se to na vlastnostech kuličky projeví?
Rozbor
Před nárazem měla kulička kinetickou energii. Uvnitř terče se však kulička zastavila, tedy její kinetická energie potom byla nulová a přeměnila se na vnitřní energii kuličky a terče, což se projeví zvýšením jejich teploty.
V zadání je řečeno, že kuličkou byly pohlceny dvě třetiny energie. Díky zvýšení vnitřní energie se zvýšila teplota kuličky stejně, jako kdyby kulička přijala tuto energii ve formě tepla. Ze znalosti energie a měrné tepelné kapacity olova, kterou najdeme v tabulkách, můžeme určit změnu teploty kuličky.
Zápis
m = 20 g = 0,02 kg hmotnost olověné kuličky v = 100 ms−1 rychlost kuličky při nárazu do terče ΔT = ? zvýšení teploty kuličky po nárazu Z tabulek:
cv = 130 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita olova Řešení
Spočítáme, jaká byla původní kinetická energie Ek letící kuličky
\[E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}mv^2\]a potom určíme, kolik energie E bylo po zásahu terče pohlceno kuličkou (víme, že jde o dvě třetiny původní energie). Bude tedy platit:
\[E=\frac{2}{3}E_{\mathrm{k}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{3}mv^2.\]Tato energie se promění na vnitřní energii kuličky, což se projeví zvýšením teploty, stejně jako, kdyby kulička přijala teplo Q. Nyní si napíšeme vztah mezi přijatým teplem a změnou teploty ΔT:
\[E=Q=mc_{\mathrm{v}}\mathrm{\Delta}T\]Z tohoto vztahu vyjádříme ΔT a dosadíme za E:
\[\mathrm{\Delta}T=\frac{E}{mc_{\mathrm{v}}}=\frac{mv^2}{3mc_{\mathrm{v}}}=\frac{v^2}{3c_{\mathrm{v}}}\]Všimněte si, že za uvedených předpokladů nezávisí změna teploty na hmotnosti kuličky.
Číselné dosazení:
\[\mathrm{\Delta}T=\frac{v^2}{3c_{\mathrm{v}}}=\frac{100^2}{3\cdot{130}}\,\mathrm{^\circ C}\dot=25{,}6\,\mathrm{^\circ C}\]Odpověď
Teplota kuličky se zvýšila přibližně o 25,6 °C.
Odkaz na pokus
Ohřev podložky při nárazu (sice ne kuličky, ale palice) lze názorně demonstrovat, viz pokus Přeměna kinetické energie na vnitřní energii: Úder palicí.
