Kapilára

Úloha číslo: 343

Kapilára má vnitřní poloměr 0,10 mm. Vypočítejte:

a) Jak vysoko v ní stoupne voda, když její konec ponoříme do vody?

b) Jak velký hydrostatický tlak vytváří tento sloupec vody?

c) Jak se změní výsledek, jestliže použijeme kapiláru s dvojnásobným poloměrem?

d) Jak by se změnil výsledek s původní kapilárou, kdybychom pokus konali na Měsíci?

e) Jak by probíhal pokus v družici, která se nachází v beztížném stavu?

  • Nápověda

    Výšku vody v kapiláře lze určit z rovnosti sil působících na vodu v kapiláře. Směrem dolu působí tíhová síla a směrem nahoru působí, tj. „vodu v kapiláře drží“ povrchová síla.

    Pro jednoduchost předpokládejme, že povrchová síla míří přímo nahoru a její velikost je úměrná povrchovému napětí vody a vnitřnímu obvodu kapiláry (okraji hladiny).

  • Zápis

    r = 0,1 mm = 1,0·10−4 m vnitřní poloměr kapiláry
    h = ? výška vody v kapiláře
    Z tabulek:  
    σ = 73 mN m−1 = 73·10−3 N m−1 povrchové napětí vody
    ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody
    g = 9,81 m s−2 tíhové zrychlení
  • Rozbor části a)

    Při řešení úlohy budeme předpokládat, že voda dokonale smáčí kapiláru. To znamená, že hladina vody v kapiláře má tvar poloviny kulové plochy a síla daná povrchovým napětím vody, kterou působí voda na sklo, míří kolmo dolů. Podle třetího Newtonova zákona působí sklo na vodu stejně velkou silou, ale opačného směru – tedy směrem vzhůru. Dále na vodu působí tíhová síla směrem dolů. Jestliže je hladina vody v klidu, musí být obě tyto síly stejně velké. Z této rovnosti určíme převýšení vody.

  • Řešení části a)

    Na vodu působí dvě síly: tíhová síla a sklo silou, jenž je reakcí na povrchovou sílu vody.

    Nejprve určeme velikost tíhové síly

    \[F_G\,=\,mg\,=\,V \varrho g\,=\,\pi r^2h \varrho g\,.\]

    V předchozím vztahu jsme použili hustotu vody pro vyjádření hmotnosti a vzorec pro objem válce.

    Teď určíme sílu danou povrchovým napětím. Tato síla působí podél vnitřního obvodu o kapiláry, pro její velikost platí tedy

    \[F\,=\,\sigma o \,=\,\sigma 2\pi r\,.\]

    Velikosti obou síl se musí rovnat:

    \[F_G \,=\, F\] \[\pi r^2h \varrho g \,=\, \sigma 2\pi r\]

    Z poslední rovnice vyjádříme hledané převýšení h a dosadíme zadané hodnoty:

    \[h \,=\,\frac{ 2\sigma}{r \varrho g} \,=\,\frac{ 2\,\cdot\,0{,}073}{1{,}0\,\cdot\,10^{-4}\,\cdot\,1000\,\cdot\,9{,}81}\,\mathrm{m}\] \[h \,=\,0{,}149 \,\mathrm{m}\,\dot=\,15\,\mathrm{cm}\]
  • Řešení částí b) – e)

    b) Hydrostatický tlak vodního sloupce v kapiláře

    \[p\,=\,h\varrho g \,=\,\frac{ 2\sigma}{r \varrho g}\,\varrho g \,=\,\frac{ 2\sigma}{r }\] \[p\,\dot=\,1{,}5\,\mathrm{kPa}\]

    Tento tlak odpovídá tzv. kapilárnímu tlaku, který vzniká pod zakřiveným povrchem kapaliny a je důsledkem povrchového napětí. Předchozí úlohu jsme tedy mohli řešit také pomocí rovnosti hydrostatického a kapilárního tlaku.

    c) Výška vody v kapiláře je nepřímo úměrná poloměru kapiláry, proto v kapiláře s dvojnásobným poloměrem bude dosahovat pouze do poloviční výšky.

    \[h_b \,=\,\frac{ 2\sigma}{r_b \varrho g}\,=\,\frac{ 2\sigma}{2r \varrho g} \,=\,\frac{ 1}{2 }\,h\]

    d) Na Měsíci je šestkrát menší gravitační zrychlení. Výška vody v kapiláře je nepřímo úměrná tomuto zrychlení, a proto by výška vody byla šestkrát větší.

    \[h_d \,=\,\frac{ 2\sigma}{r_b \varrho g_{Mesic}}\,=\,\frac{ 2\sigma}{r \varrho \frac{ g}{6 }} \,=\,6h\]

    e) V beztížném stavu by na vodu nepůsobila žádná tíhová síla, a proto by voda díky smáčivosti dosáhla vrcholu libovolně dlouhé kapiláry.

  • Odpověď

    V zadané kapiláře vystoupí voda do výšky asi 15 cm a vodní sloupec vyvolává hydrostatický tlak 1,5 kPa.

    V kapiláře s dvojnásobným poloměrem by voda vystoupila pouze do poloviční výšky, na Měsíci by naopak výška vody byla šestinásobná.

    Ve stavu beztíže by voda vyplnila libovolně dlouhou kapiláru.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze