Kapilára
Úloha číslo: 343
Kapilára má vnitřní poloměr 0,10 mm. Vypočítejte:
a) Jak vysoko v ní stoupne voda, když její konec ponoříme do vody?
b) Jak velký hydrostatický tlak vytváří tento sloupec vody?
c) Jak se změní výsledek, jestliže použijeme kapiláru s dvojnásobným poloměrem?
d) Jak by se změnil výsledek s původní kapilárou, kdybychom pokus konali na Měsíci?
e) Jak by probíhal pokus v družici, která se nachází v beztížném stavu?
Nápověda
Výšku vody v kapiláře lze určit z rovnosti sil působících na vodu v kapiláře. Směrem dolů působí tíhová síla a směrem nahoru působí, tj. „vodu v kapiláře drží“, povrchová síla.
Pro jednoduchost předpokládejme, že povrchová síla míří přímo nahoru a její velikost je úměrná povrchovému napětí vody a vnitřnímu obvodu kapiláry (okraji hladiny).
Zápis
r = 0,1 mm = 1,0·10−4 m vnitřní poloměr kapiláry h = ? výška vody v kapiláře Z tabulek: σ = 73 mN m−1 = 73·10−3 N m−1 povrchové napětí vody ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody g = 9,81 m s−2 tíhové zrychlení Rozbor části a)
Při řešení úlohy budeme předpokládat, že voda dokonale smáčí kapiláru. To znamená, že hladina vody v kapiláře má tvar poloviny kulové plochy a síla daná povrchovým napětím vody, kterou působí voda na sklo, míří kolmo dolů. Podle třetího Newtonova zákona působí sklo na vodu stejně velkou silou, ale opačného směru – tedy směrem vzhůru. Dále na vodu působí tíhová síla směrem dolů. Jestliže je hladina vody v klidu, musí být obě tyto síly stejně velké. Z této rovnosti určíme převýšení vody.
Řešení části a)
Na vodu působí dvě síly: tíhová síla a sklo silou, jež je reakcí na povrchovou sílu vody.
Nejprve určeme velikost tíhové síly:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg\,=\,V \varrho g\,=\,\pi r^2h \varrho g\,.\]V předchozím vztahu jsme použili hustotu vody pro vyjádření hmotnosti a vzorec pro objem válce.
Teď určíme sílu danou povrchovým napětím. Tato síla působí podél vnitřního obvodu o kapiláry, pro její velikost platí tedy:
\[F\,=\,\sigma o \,=\,\sigma 2\pi r\,.\]Velikosti obou síl se musí rovnat:
\[F_\mathrm{G} \,=\, F,\] \[\pi r^2h \varrho g \,=\, \sigma 2\pi r.\]Z poslední rovnice vyjádříme hledané převýšení h a dosadíme zadané hodnoty:
\[h \,=\,\frac{ 2\sigma}{r \varrho g} \,=\,\frac{ 2\,\cdot\,0{,}073}{1{,}0\,\cdot\,10^{-4}\,\cdot\,1000\,\cdot\,9{,}81}\,\mathrm{m},\] \[h \,=\,0{,}149 \,\mathrm{m}\,\dot=\,15\,\mathrm{cm}.\]Řešení částí b) – e)
b) Hydrostatický tlak vodního sloupce v kapiláře
\[p\,=\,h\varrho g \,=\,\frac{ 2\sigma}{r \varrho g}\,\varrho g \,=\,\frac{ 2\sigma}{r },\] \[p\,\dot=\,1{,}5\,\mathrm{kPa}.\]Tento tlak odpovídá tzv. kapilárnímu tlaku, který vzniká pod zakřiveným povrchem kapaliny a je důsledkem povrchového napětí. Předchozí úlohu jsme tedy mohli řešit také pomocí rovnosti hydrostatického a kapilárního tlaku.
c) Výška vody v kapiláře je nepřímo úměrná poloměru kapiláry, proto v kapiláře s dvojnásobným poloměrem bude dosahovat pouze do poloviční výšky:
\[h_\mathrm{b} \,=\,\frac{ 2\sigma}{r_\mathrm{b} \varrho g}\,=\,\frac{ 2\sigma}{2r \varrho g} \,=\,\frac{ 1}{2 }\,h.\]d) Na Měsíci je šestkrát menší gravitační zrychlení. Výška vody v kapiláře je nepřímo úměrná tomuto zrychlení, a proto by výška vody byla šestkrát větší:
\[h_\mathrm{d} \,=\,\frac{ 2\sigma}{r_\mathrm{b} \varrho g_\mathrm{Mesic}}\,=\,\frac{ 2\sigma}{r \varrho \frac{ g}{6 }} \,=\,6h.\]e) V beztížném stavu by na vodu nepůsobila žádná tíhová síla, a proto by voda díky smáčivosti dosáhla vrcholu libovolně dlouhé kapiláry.
Odpověď
V zadané kapiláře vystoupí voda do výšky asi 15 cm a vodní sloupec vyvolává hydrostatický tlak 1,5 kPa.
V kapiláře s dvojnásobným poloměrem by voda vystoupila pouze do poloviční výšky, na Měsíci by naopak výška vody byla šestinásobná.
Ve stavu beztíže by voda vyplnila libovolně dlouhou kapiláru.
