Rozdělení energie
Úloha číslo: 452
Vypočtěte nejpravděpodobnější kinetickou energii translačního pohybu částic ideálního plynu při teplotě 290,15 K.
Nápověda 1 – pozor na chybné řešení
Tato úloha je zrádná v tom, že vede velice jednoduchou cestou ke zdánlivě logickému řešení, jež je ale bohužel nesprávné. Jde o to, že známe výraz pro nejpravděpodobnější rychlost
\[v_{max}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}\]a dalo by se tedy očekávat, že maximum rozdělení podle energie bude odpovídat maximu rozdělení podle rychlosti, a bude proto platit:
\[E_{max}=\frac{1}{2}mv^{2}_{max}=\frac{1}{2}m \frac{2kT}{m}=kT.\]Tato úvaha je však chybná! Je to proto, že rozdělení podle energie má jiný tvar než rozdělení podle rychlosti a jejich maxima si proto neodpovídají.
Nápověda 2
Nejprve najděte rozdělovací funkci ρ(E) podle energie.
Využijte k tomu rozdělovací funkci ρ(v) podle velikosti rychlosti, pro kterou platí
\[\rho(v)=4\pi\left({\frac{m}{2\pi kT}}\right)^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{-{\frac{mv^2}{2kT}}},\]kde m je hmotnost, T termodynamická teplota a k Boltzmannova konstanta.
Pravděpodobnost nalezení částice v elementárním rychlostním intervalu (v;v + dv) je ρ(v)dv.Pravděpodobnost nalezení částice v elementárním energetickém intervalu (E;E + dE) daná vztahem ρ(E)dE.
Známe vztah mezi energií E a velikostí rychlosti v
\[E=\frac{1}{2}mv^{2}.\]Z něho vyjádříme jednak rychlost pomocí energie a zdiferencováním i vztah mezi dv a dE. Obojí dosadíme do výše uvedené rozdělovací funkce.
Nápověda 3
Nejpravděpodobnější energii Emax stanovte jako maximum nalezené rozdělovací funkce ρ(E).
Jak se maximum funkce hledá?
Zápis
T = 290,15 K teplota plynu Emax = ? nejpravděpodobnější kinetická energie
Z tabulek:
k = 1,38 ·10−23 J K−1 Boltzmannova konstanta Rozbor
Nejprve najdeme rozdělovací funkci podle energie. Při jejím hledání využijeme rozdělovací funkci podle velikosti rychlosti a známý vztah mezi energií a rychlostí.
Poté určíme nejpravděpodobnější energii jako maximum nalezené rozdělovací funkce podle energie. Tuto funkci tedy zderivujeme a derivaci položíme rovnu nule.
Řešení
Nejprve najdeme rozdělovací funkci podle energie, tj. funkci ρ(E), mající tu vlastnost, že pravděpodobnost nalezení dané částice v energetickém intervalu od E1 do E2 bude dána vztahem
\[p(E_{1}\,<\,E\,<\,E_{2})\,=\,\int_{E_{1}}^{E_{2}}{\rho(E)}\,dE.\]Při hledání rozdělovací funkce později využijeme znalost rozdělovací funkce podle rychlosti ρ(v), pro níž platí
\[\rho(v)=4\pi\left({\frac{m}{2\pi kT}}\right)^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{-{\frac{mv^2}{2kT}}},\]kde m je hmotnost, T termodynamická teplota a k Boltzmannova konstanta.
Pravděpodobnost nalezení částice v elementárním rychlostním intervalu (v;v + dv) je ρ(v)dv. Tomu odpovídá pravděpodobnost nalezení v elementárním energetickém intervalu (E;E + dE) daná vztahem ρ(E)dE.
Mezi energií E a rychlostí v platí známý vztah
\[E=\frac{1}{2}mv^{2}.\]Ten zdiferencujeme
\[\mathrm{d}E=mv\mathrm{d}v.\]Odtud vyjádříme elementární změnu rychlosti
\[\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}E}{mv},\]pro kterou po dosazení výrazu
\[v=\sqrt{\frac{2E}{m}}\]dostaneme
\[\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}E}{m\sqrt{\frac{2E}{m}}}=\frac{\mathrm{d}E}{\sqrt{E}\sqrt{2m}}.\]Nyní můžeme psát
\[\rho(v)\mathrm{d}v\,=\,4\pi\left(\frac{m}{2\pi kt}\right)^{\frac{3}{2}}v^{2}e^{-\frac{mv^{2}}{2kT}}\mathrm{d}v.\]Dosadíme-li do tohoto výrazu vztahy pro rychlost v a pro její elementární změnu dv dostaneme
\[\rho(E)\mathrm{d}E\,=\,4\pi\sqrt{\frac{m}{2}}\left(\frac{1}{\pi kT} \right)^{\frac{3}{2}}Ee^{\frac{-E}{kT}}\frac{\mathrm{d}E}{\sqrt{E}\sqrt{2m}}\]a po úpravě
\[\rho(E)=2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}e^{\frac{-E}{kT}}.\]Podařilo se nám tedy najít rozdělovací funkci podle energie. Nejpravděpodobnější energii Emax nyní stanovíme jako maximum této funkce. To najdeme tak, že funkci zderivujeme podle energie E (použijeme pravidla pro derivování součinu a složené funkce):
\[\frac{\mathrm{d}\rho(E)}{\mathrm{d}E}\,=\,2\pi \left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2\sqrt{E}}e^{\frac{-E}{kT}}+\sqrt{E}\left(\frac{-1}{kT}\right)e^{\frac{-E}{kT}}\right).\]Získanou derivaci upravíme
\[\frac{\mathrm{d}\rho(E)}{\mathrm{d}E}\,=\,2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{\frac{-E}{kT}}\left(\frac{1}{2\sqrt{E}}-\frac{\sqrt{E}}{kt}\right)\]a položíme ji rovnu nule
\[\frac{\mathrm{d}\rho(E)}{\mathrm{d}E}=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;2\pi\left(\frac{1}{\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{\frac{-E}{kT}}\left(\frac{1}{2\sqrt{E}}-\frac{\sqrt{E}}{kt}\right)=0.\]Odtud plyne podmínka
\[\left(\frac{1}{2\sqrt{E_{max}}}-\frac{\sqrt{E_{max}}}{kT}\right)=0.\]Po úpravě této rovnice
\[\frac{1}{2\sqrt{E_{max}}}=\frac{\sqrt{E_{max}}}{kT}\]a vyjádření nejpravděpodobnější energie Emax nakonec dostáváme
\[E_{max}=\frac{kT}{2}.\]Všimněte si, že při chybném řešení uvedeném v Nápovědě 1 vyšla nejpravděpodobnější rychlost dvakrát větší.
Číselné dosazení
\[E_{max}=\frac{kT}{2}=\frac{1{,}34\cdot{10^{-23}}\cdot{290{,}15}}{2}\,\mathrm{J}\dot{=}2\cdot{10^{-21}}\mathrm{J}\]Odpověď
Nejpravděpodobnější energie vychází přibližně 2·10− 21 J.
