Povrchová energie
Úloha číslo: 346
Jak velká energie se uvolní, jestliže se při dešti z kapiček o poloměru 1 µm vytvoří velká kapka s poloměrem 3 mm? Na jakou formu se tato uvolněná energie přemění a jak se to projeví? Jakému přírůstku teploty vody by tato energie odpovídala?
Nápověda – povrchová energie
Voda těsně u povrchu hladiny se chová jako „pružná blána“ – snaží se smršťovat (působí tzv. povrchovou silou), udrží lehké předměty apod.
Pokud chceme napnout pružnou blánu, musíme vykonat práci, která se přemění na energii pružnosti „uloženou“ v napnuté bláně. Stejně je i u povrchu kapaliny „ukryta“ energie, které říkáme povrchová energie. Povrchové napětí kapaliny udává množství této energie v 1 m2.
Nápověda – jak řešit úlohu
Když se spojí malé kapičky do velké kapky, dojde ke změně povrchu. Určete tedy celkový povrch všech malých kapiček a povrch velké kapky a spočítejte, jaká změna povrchové energie odpovídá této změně povrchu.
Zápis
r = 1 µm = 1·10−6 m poloměr kapiček R = 3 mm = 3·10−3 m poloměr kapky E = ? uvolněná energie Δt = ? změna teploty kapky Z tabulek: σ = 73 mN m−1 = 73·10−3 N m−1 povrchové napětí vody ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody c = 4 180 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita vody Rozbor
V této úloze využijeme druhý „pohled“ na povrchové napětí než v úlohách zaměřených na kapilární jevy. Díky povrchovému napětí má kapalina na povrchu tělesa (na rozdíl od kapaliny ve vlastním objemu tělesa) navíc povrchovou energii. Tato energie je úměrná velikosti obsahu povrchu kapaliny a jedná se o součást vnitřní energie. Povrchová síla se tedy snaží zmenšovat povrchovou energii. Povrchové napětí v tomto případě můžeme chápat jako hustotu povrchové energie (tj. číselně odpovídá velikosti povrchové energie plochy o obsahu 1 m2).
Nejprve si tedy určíme počet malých kapiček, které vytvoří jednu velkou kapku, a velikost jejich celkového povrchu. Uvolněná energie bude úměrná změně velikosti povrchu při spojení kapiček v kapku. Jak uvidíme během výpočtu, tak obsah povrchu velké kapky můžeme vzhledem k celkovému obsahu povrchů kapiček zanedbat. Uvolněná energie tedy bude odpovídat celkové povrchové energii všech kapiček.
Tato energie se projeví vzrůstem vnitřní energie kapky, což znamená, že dojde ke zvýšení její teploty.
Řešení: Povrch kapky
Nejprve si určíme počet kapiček N, které vytvoří jednu kapku. Tento počet je roven podílu jejich objemů:
\[N\,=\, \frac{V_{\mathrm{kapka}}}{ V_{\mathrm{kapicka}}}\,=\, \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi r^3}\frac{ R^3}{ r^3}\,=\, \frac{ \left(3\cdot{10^{-3}}\right)^3}{ \left(10^{-6}\right)^3},\] \[N\,=\,27\cdot{10^{9}}. \]Dále určíme velikost celkového povrchu všech kapiček:
\[S\,=\,NS_{\mathrm{kapicka}}\,=\, \frac{ R^3 }{ r^3} \,4 \pi r^2,\] \[S\,=\, \frac{ 4 \pi R^3}{ r},\] \[S\,=\, \frac{ 4 \pi \cdot \left(3\cdot{ 10^{-3}}\right)^3}{ 10^{-6}}\,\mathrm{m^2}\,\dot=\, 0{,}34\,\mathrm{m^2}\]a obsah povrchu velké kapky:
\[S_{\mathrm{kapka}}\, =\, 4 \pi R^2 \,=\, 4 \pi \cdot \left(3 \cdot{10^{-3}} \right)^2\,\mathrm{m^2},\] \[S_{\mathrm{kapka}}\,\dot=\, 0{,}0001\,\mathrm{m^2}.\]Vidíme tedy, že povrch kapky je opravdu zanedbatelný vzhledem k celkovému povrchu všech kapiček.
Řešení: Energie
Uvolněná energie odpovídá změně povrchové energie:
\[E\,=\, \sigma \left( S - S_{\mathrm{kapka}} \right) \,\dot=\, \sigma S \,=\, \sigma \frac{4 \pi R^3}{ r} \]a dosadíme zadané hodnoty:
\[E \,=\, 73 \cdot{10^{-3}}\,\cdot\, \frac{4 \pi \left(3 \cdot{10^{-3}} \right)^3}{ 10^{-6}}\,\mathrm{J}\,\dot=\,0{,}025 \,\mathrm{J},\] \[E \,\dot=\,25 \,\mathrm{mJ}.\]Uvolněná energie se projeví zvýšením vnitřní energie, a tedy vzrůstem teploty. Uvolněnou energii položíme rovnu teplu Q potřebnému k ohřátí kapky vody o teplotu Δt:
\[Q\,=\, c m \,\mathrm{\Delta}t\,=\,c \, \left(V \varrho \right) \,\mathrm{\Delta}t\,=\,c \,\left(\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho \right)\,\mathrm{\Delta}t\,,\] \[c \,\left(\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho \right)\,\mathrm{\Delta}t\,=\,\sigma \frac{4 \pi R^3}{ r}\,,\]a vyjádříme hledaný teplotní rozdíl Δt:
\[\mathrm{\Delta}t\,=\, \frac{\sigma 4 \pi R^3}{ rc \frac{4}{3} \pi R^3 \varrho }\,=\, \frac{3 \sigma}{ rc \varrho }\,=\, \frac{3\,\cdot\,73 \cdot{10^{-3}}}{10^{-6}\,\cdot\,4\,180 \,\cdot\,1\,000} \,\mathrm{^\circ C},\] \[\mathrm{\Delta}t\,\dot=\,0{,}05\,\mathrm{^\circ C}.\]Odpověď
Při spojení malých kapiček ve větší kapku se uvolní energie přibližně 25 mJ, což se projeví vzrůstem vnitřní energie kapky, který odpovídá vzrůstu teploty asi o 0,05 °C.
