Opožďování hodin při vyšší teplotě

Úloha číslo: 475

O jakou hodnotu se změní doba kyvu mosazného kyvadla, která je při teplotě 10 °C rovna 1 s, zvýšíme-li teplotu okolního prostředí na 25 °C?

Oč by se denně opožďovaly hodiny s takovým kyvadlem?

  • Nápověda 1

    Pozor na záměnu pojmů doba kyvu a doba kmitu.

    Kmit je jedna perioda pohybu kyvadla, tj. doba, za kterou se kyvadlo pohybuje „tam i zpět“. Kyv odpovídá polovině kmitu, tj. pohybu kyvadla pouze „tam“.

  • Nápověda 2

    Uvědomte si, co se stane s délkou mosazného kyvadla, když zvýšíme teplotu. Jaký vliv to bude mít na dobu kyvu kyvadla?

  • Rozbor

    Při teplotě 10 °C je doba jednoho kyvu mosazného kyvadla 1 s. Při vyšší teplotě se ale díky teplotní délkové roztažnosti mosazné kyvadlo prodlouží. Protože doba kyvu kyvadla závisí na jeho délce, zvětší se i doba jednoho kmitu.

    Při řešení si ještě musíme uvědomit, že doba kmitu je rovna době dvou kyvů.

  • Zápis

    t1 = 10 °C  počáteční teplota
    t2 = 25 °C  zvýšená teplota
    Δτ = ? změna doby kyvu kyvadla při vyšší teplotě
    τc = ? zpoždění hodin za jeden den

    Z tabulek:

    α = 20·10−6 °C−1 teplotní součinitel délkové roztažnosti mosazi
  • Řešení

    Pro dobu kyvu kyvadla τ1 při počáteční teplotě t1 platí vztah:

    \[\tau_1=\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\,,\]

    kde l1 je původní délka závěsu a g tíhové zrychlení. Tíhové zrychlení je na teplotě nezávislé, délka závěsu se však s rostoucí teplotou lineárně zvětšuje, takže při teplotě t2 ji můžeme vypočítat dle vztahu:

    \[l_2=l_1\left(1+\alpha\,\mathrm{\Delta}t\right)=l_1\left[1+\alpha\left(t_2-t_1\right)\right]\,.\]

    To znamená, že doba kyvu se po zahřátí zvětší na τ2

    \[\tau_2=\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l_1\left[1+\alpha\left(t_2-t_1\right)\right]}{g}}=\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} \,\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}\] \[\tau_2=\tau_1\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}\,.\]

    Hodiny se tedy každou sekundu budou opožďovat o dobu Δτ pro kterou platí

    \[ \mathrm{\Delta}\tau=\tau_2-\tau_1. \]

    Vypočítané zpoždění jednoho kyvu Δτ vynásobíme počtem sekund za jeden den a dostaneme zpoždění hodin za celý den. Pro celkové zpoždění Δτc tedy platí

    \[ \mathrm{\Delta}\tau_c=24{\cdot}60\cdot60\cdot\mathrm{\Delta}\tau=86400\cdot\mathrm{\Delta}\tau. \]

    Číselné dosazení:

    \[\tau_2=\tau_1\sqrt{1+\alpha\left(t_2-t_1\right)}=1\sqrt{1+19\cdot{10^{-6}}\left(25-10\right)}\dot\,\mathrm{s}=1{,}00014\,\mathrm{s}\] \[\mathrm{\Delta}\tau=\tau_2-\tau_1=\left(1{,}00014-1\right)\,\mathrm{s}=0{,}00014\,\mathrm{s}\] \[\mathrm{\Delta}\tau_c=86400\cdot\mathrm{\Delta}\tau=86400\cdot{0{,}00014}\,\mathrm{s}\dot=12\,\mathrm{s}\]
  • Odpověď

    Doba kyvu po zahřátí vzroste na hodnotu přibližně 1,00014 s, přičemž za jeden den se hodiny zpozdí asi o 12 s (tj. jeden den bude podle těchto hodin trvat o 12 s déle).

  • Pro zajímavost

    V dnešní době potřebujeme čas měřit velmi přesně (např. kvůli GPS a dalším zařízením). Jak jsme si všimli, na kyvadlových hodinách se přesnost chodu hodin výrazně mění s teplotou a rozhodně nedosahují požadované přesnosti. Pro lepší určování času se dnes používají atomové hodiny, které dosahují takové přesnosti, že se zpozdí nejvýše o 1 s za 15 milionů let. Ještě přesnějšími hodinami jsou hodiny optické, které se zpozdí nejvýše o vteřinu až za několik desítek miliard let!

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze