Tření na nakloněné rovině
Úloha číslo: 364
Železné těleso o hmotnosti 450 g klouže z klidu se třením po nakloněné rovině délky 3,6 m. Nakloněná rovina svírá s vodorovnou rovinou úhel 40°. Rychlost tělesa na konci nakloněné roviny je 3,2 m s−1. Vypočtěte, o kolik °C se těleso může zahřát, jestliže se mechanická energie přeměněná díky tření na vnitřní energii rozdělí mezi nakloněnou rovinu a těleso rovnoměrně.
Nápověda
Pokud by těleso klouzalo bez tření, platil by zákon zachování mechanické energie. Díky tření se část mechanické energie přemění na energii vnitřní, což se projeví ohřátím tělesa.
Na začátku má těleso tíhovou potenciální energii. Na konci pohybu se část potenciální energie přeměnila na kinetickou energii (tu určíme z rychlosti tělesa) a část na vnitřní energii.
Zápis
m = 450 g = 0,45 kg hmotnost tělesa l = 3,6 m délka nakloněné roviny α = 40° úhel mezi vodorovnou rovinou a nakloněnou rovinou v = 3,2 ms−1 velikost rychlosti tělesa na konci nakloněné roviny η = 0,5 podíl energie přijaté tělesem, z celkové mechanické energie přeměněné díky tření na vnitřní energii Δt = ? teplotní rozdíl, o který se může těleso ohřát Z tabulek: c = 440 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita železa Rozbor
Jak těleso klouže dolů po nakloněné rovině, působí na něj tíhová síla, kterou můžeme rozložit na složku rovnoběžnou s rovinou, která těleso urychluje, a složku kolmou k nakloněné rovině. Tato síla způsobuje tření, tj. je třecí sílou, která působí proti směru pohybu a díky které je část mechanické energie přeměněna na energii vnitřní. Celkovou takto přeměněnou energii určíme pomocí zákona zachování energie.
Na začátku pohybu bylo těleso v klidu (kinetická energie byla nulová) a v určité výšce (mělo potenciální tíhovou energii). Během pohybu se zvýšila jeho kinetická energie (těleso získalo rychlost), ale také kleslo, tj. zmenšila se jeho potenciální energie. Pokud by mezi tělesem a rovinou nepůsobila třecí síla, byl by nárůst kinetické energie roven změně potenciální energie. Jestliže ale třecí síla působí, bude koncová kinetická energie tělesa menší. Tento rozdíl odpovídá přírůstku vnitřní energie tělesa a nakloněné roviny.
Polovina této energie se promění na vnitřní energii tělesa a pomocí měrné tepelné kapacity železa určíme, jak stoupne jeho teplota.
Řešení
Při pohybu po nakloněné rovině se přeměňuje potenciální tíhová energie Ep tělesa na kinetickou energii Ek. Potenciální energie klesne úměrně výšce h nakloněné roviny, kterou určíme pomocí její délky l a sklonu α.
\[h=l\,sin \alpha\] \[E_p=mgh=mgl\,sin\alpha\]Na začátku pohybu je těleso v klidu a jeho kinetická energie tedy nulová. Na konci pohybu má jeho kinetická energie hodnotu
\[E_k=\frac{1}{2}mv^2\]Mechanická energie, která se díky tření přeměnila na energii vnitřní, je rovna
\[\Delta E=E_p-E_k=mgl\,sin \alpha -\frac{1}{2}mv^2\]Z této hodnoty energie část ηΔE přijme těleso a díky tomu se zvýší jeho teplota o Δt. Platí tedy
\[\eta \Delta E=cm\Delta t\]Po dosazení a úpravě dostáváme
\[\eta=\left(mgl\,sin \alpha-\frac{1}{2}mv^2\right)=cm\Delta t,\] \[\Delta t=\frac{\eta}{2c}\left(2gl\,sin\alpha-v^2\right).\]Povšimněme si ještě, že výsledný teplotní rozdíl nezávisí na hmotnosti tělesa.
Nakonec dosadíme zadané hodnoty:
\[\Delta t=\frac{0{,}5}{2\cdot{440}}\cdot\left(2\cdot{9{,}81}\cdot{3{,}6}\cdot\,sin40^\circ -\,3{,}2^2\right)^\circ C=0{,}02^\circ C.\]Odpověď
Teplota celého tělesa by za uvedených podmínek vzrostla jen asi o 0,02 °C.
