Voda v chladícím zařízení

Úloha číslo: 505

Vodě o hmotnosti 15 kg a teplotě 75 °C byla chladícím zařízením odebrána energie 10 380 kJ. Určete výslednou teplotu.

  • Nápověda

    Zkuste si rozmyslet, jak poznat, zda odebraná energie způsobí jen ochlazení vody, nebo bude stačit i na její částečné či úplné zmrznutí.

  • Rozbor

    Nejdříve musíme zjistit, zda se voda jen ochladila, nebo jsme odebrali tolik energie, že ještě částečně nebo úplně ztuhla, případně zda se ještě neochladil i vzniklý led.

    Nejdříve určíme energii, kterou musíme vodě odebrat, aby se ochladila na teplotu tuhnutí, tj. 0 °C, a dále spočítáme teplo, které bychom museli vodě o teplotě 0 °C odebrat, aby všechna zmrzla. Porovnáním získaných hodnot se skutečně odebranou energií určíme skupenství výsledného stavu a potom i jeho teplotu.

  • Zápis

    m = 15 kg hmotnost vody
    tp = 75 °C počáteční teplota vody
    E = 10380 kJ energie odebraná chladícím zařízením
    tv = ? výsledná teplota

    Z tabulek:

    tt = 0 °C  teplota tuhnutí vody
    cv = 4180 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody
    lt = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tuhnutí vody
    cl = 2100 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita ledu
  • Řešení

    Tato úloha je trošku nepříjemná v tom, že nevíme, zda odebraná energie bude stačit na ztuhnutí celého množství vody či pouze části, nebo zda dokonce dojde jen ke snížení teploty, ale veškerá voda zůstane v kapalném skupenství. To, která z uvedených možností nastane, určíme tak, že si nejprve spočteme

    a) množství energie, resp. tepla E1, kterou musíme odebrat, aby se voda ochladila na teplotu tuhnutí tt = 0°

    \[ E_1 =mc_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{t}} - t_{\mathrm{p}}), \]

    b) množství energie E2 potřebné k následné přeměně na led

    \[ E_2=ml_{\mathrm{t}}. \]

    Nyní dosadíme konkrétní hodnoty, abychom mohli určit skupenství výsledného stavu.

    \[ E_1 =mc_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{p}} - t_{\mathrm{t}})= 15\cdot{4180}\cdot(75-0)\,\mathrm{J} = 4{,}7\cdot{10^6}\,\mathrm{J}= 4{,}7\,\mathrm{MJ} \] \[ E_2=ml_{\mathrm{t}}= 15\cdot{334}\cdot{10^3}\,\mathrm{J}= 5{,}0\cdot{10^6}\,\mathrm{J}= 5{,}0\,\mathrm{MJ} \] \[ E_1+E_2=(4{,}7 + 5{,}0)\,\mathrm{MJ}=9{,}7\,\mathrm{MJ}\,\,<\,\,E = 10\,380\,\mathrm{kJ} \]

    Protože E1 + E2 < E, znamená to, že všechna voda se ochladila na teplotu tuhnutí, zmrzla na led a ten se ještě ochladil. Na ochlazování ledu připadá energie E3:

    \[ E_3=E-E_1-E_2. \]

    Odpovídající změnu teploty ledu a tím i hledanou výslednou teplotu tv určíme z následujícího vztahu:

    \[E_3=mc_{\mathrm{l}}\left(t_{\mathrm{t}}-t_{\mathrm{v}}\right),\]

    kde ml je měrná tepelná kapacita ledu.

    \[mc_{\mathrm{l}}\left(t_{\mathrm{t}}-t_{\mathrm{v}}\right)=E-E_1-E_2\] \[t_{\mathrm{v}}=t_{\mathrm{t}}-\frac{E-mc_{\mathrm{v}}(t_{\mathrm{p}}-t_{\mathrm{t}})-ml_{\mathrm{t}}}{mc_{\mathrm{l}}}\]

    Číselné dosazení:

    \[t_{\mathrm{v}}=\left(0-\frac{10380\cdot{10^3}-15\cdot{4180}\cdot(75-0)-15\cdot{334}\cdot{10^3}}{15\cdot{2100}}\right)\,\mathrm{^{\circ}C}\] \[t_{\mathrm{v}}\dot=-21\,\mathrm{^{\circ}C}\]
  • Odpověď

    Po odebrání energie všechna voda zmrzla na led a ten se ještě ochladil na teplotu přibližně −21 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze