Sbírka řešených úloh

Voda v chladícím zařízení

Úloha číslo: 505

• Nápověda

  Zkuste si rozmyslet, jak poznat, zda odebraná energie způsobí jen ochlazení vody, nebo bude stačit i na její částečné či úplné zmrznutí.

• Rozbor

  Nejdříve musíme zjistit, zda se voda jen ochladila, nebo jsme odebrali tolik energie, že ještě částečně nebo úplně ztuhla, případně zda se ještě neochladil i vzniklý led.

  Nejdříve určíme energii, kterou musíme vodě odebrat, aby se ochladila na teplotu tuhnutí, tj. 0 °C, a dále spočítáme teplo, které bychom museli vodě o teplotě 0 °C odebrat, aby všechna zmrzla. Porovnáním získaných hodnot se skutečně odebranou energií určíme skupenství výsledného stavu a potom i jeho teplotu.

• Zápis

  m = 15 kg	hmotnost vody
  tp = 75 °C	počáteční teplota vody
  E = 10380 kJ	energie odebraná chladícím zařízením
  tv = ?	výsledná teplota

  Z tabulek:

  tt = 0 °C	teplota tuhnutí vody
  cv = 4180 J kg−1K−1	měrná tepelná kapacita vody
  lt = 334·103 J kg−1	měrné skupenské teplo tuhnutí vody
  cl = 2100 J kg−1K−1	měrná tepelná kapacita ledu

• Řešení

  Tato úloha je trošku nepříjemná v tom, že nevíme, zda odebraná energie bude stačit na ztuhnutí celého množství vody či pouze části, nebo zda dokonce dojde jen ke snížení teploty, ale veškerá voda zůstane v kapalném skupenství. To, která z uvedených možností nastane, určíme tak, že si nejprve spočteme

  a) množství energie, resp. tepla E₁, kterou musíme odebrat, aby se voda ochladila na teplotu tuhnutí t_t = 0°

  \[ E_1 =mc_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{t}} - t_{\mathrm{p}}), \]

  b) množství energie E₂ potřebné k následné přeměně na led

  \[ E_2=ml_{\mathrm{t}}. \]

  Nyní dosadíme konkrétní hodnoty, abychom mohli určit skupenství výsledného stavu.

  \[ E_1 =mc_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{p}} - t_{\mathrm{t}})= 15\cdot{4180}\cdot(75-0)\,\mathrm{J} = 4{,}7\cdot{10^6}\,\mathrm{J}= 4{,}7\,\mathrm{MJ} \] \[ E_2=ml_{\mathrm{t}}= 15\cdot{334}\cdot{10^3}\,\mathrm{J}= 5{,}0\cdot{10^6}\,\mathrm{J}= 5{,}0\,\mathrm{MJ} \] \[ E_1+E_2=(4{,}7 + 5{,}0)\,\mathrm{MJ}=9{,}7\,\mathrm{MJ}\,\,<\,\,E = 10\,380\,\mathrm{kJ} \]

  Protože E₁ + E₂ < E, znamená to, že všechna voda se ochladila na teplotu tuhnutí, zmrzla na led a ten se ještě ochladil. Na ochlazování ledu připadá energie E₃:

  \[ E_3=E-E_1-E_2. \]

  Odpovídající změnu teploty ledu a tím i hledanou výslednou teplotu t_v určíme z následujícího vztahu:

  \[E_3=mc_{\mathrm{l}}\left(t_{\mathrm{t}}-t_{\mathrm{v}}\right),\]

  kde m_l je měrná tepelná kapacita ledu.

  \[mc_{\mathrm{l}}\left(t_{\mathrm{t}}-t_{\mathrm{v}}\right)=E-E_1-E_2\] \[t_{\mathrm{v}}=t_{\mathrm{t}}-\frac{E-mc_{\mathrm{v}}(t_{\mathrm{p}}-t_{\mathrm{t}})-ml_{\mathrm{t}}}{mc_{\mathrm{l}}}\]

  Číselné dosazení:

  \[t_{\mathrm{v}}=\left(0-\frac{10380\cdot{10^3}-15\cdot{4180}\cdot(75-0)-15\cdot{334}\cdot{10^3}}{15\cdot{2100}}\right)\,\mathrm{^{\circ}C}\] \[t_{\mathrm{v}}\dot=-21\,\mathrm{^{\circ}C}\]

• Odpověď

  Po odebrání energie všechna voda zmrzla na led a ten se ještě ochladil na teplotu přibližně −21 °C.