Ocelová vzpěra
Úloha číslo: 393
Ocelová tyč se při dané teplotě oběma svými konci právě dotýká pevných stěn. Určete, o kolik může vzrůst teplota, aby tlak na stykové ploše nepřesáhl bezpečnou hodnotu 5 MPa. Předpokládejte, že změna teploty je tak malá, že chování oceli bude stejné v tahu jako při tlaku.
Nápověda
Pokud by tyč nebyla zaklíněna mezi stěnami, došlo by při zvýšení teploty k jejímu protažení. Stěny na ní ale působí silou a „stlačují“ tyč o stejnou hodnotu. Mezní teplotu tedy určíme porovnáním obou změn délek tyče.
Nápověda – nejsou třeba ještě nějaké další parametry tyče?
Na první pohled by se mohlo zdát, že k výpočtu je třeba znát délku a průřez tyče. Není tomu ale tak.
Jak změna délky daná změnou teploty, tak pružné zkrácení (deformace) jsou přímo úměrné délce tyče, takže na ní výsledek nezávisí.
Také je jasné, že na tlustší tyč budou muset stěny působit větší silou, na druhou stranu budou působit na větší plochu průřezu tyče. Takže tlak, kterým stěna působí zůstane stejný pro různé průřezy tyče.
Zápis
p = 5 MPa = 5·106 Pa mezní hodnota tlaku Δt = ? maximální možná změna teploty Z tabulek E = 210 GPa = 2,10·1011 Pa modul pružnosti oceli v tahu (tlaku) σE = 400·MPa mez pružnosti oceli α = 1,2·10−5K−1 teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli Rozbor
Pokud by tyč nebyla zapřena o pevné stěny, došlo by při zvýšení teploty k jejímu prodloužení. Pevné stěny toto prodloužení neumožní. Budou na tyč působit silami s deformačními účinky, aby se délka tyče nezměnila.
Větší teplotní rozdíl by odpovídal větší změně délky, a tedy znamená také větší deformační síly a tlak na stykové ploše mezi tyčí a stěnou. Maximální tlak, který mohou síly působící od stěny na tyč vytvořit, je mnohem menší než mez pružnosti oceli, proto můžeme předpokládat, že změna délky vzpěry je přímo úměrná působící deformační síle.
Z rovnosti změny délky tyče při maximálním možném tlaku (deformační síle) a teplotní změny délky tyče určíme maximální možnou změnu teploty.
Řešení
Nejprve si vyjádříme změnu délky tyče při maximálním povoleném tlaku. Budeme předpokládat, že se jedná o pružnou deformaci. Potom pro relativní změnu délky ε platí
\[\sigma=E\epsilon\]kde σ je normálové napětí = deformační síla dělená obsahem stykové plochy, tj. jedná se vlastně o tlak, který působení stěny v tyči vytváří
\[\sigma=\frac{F}{S}=p.\]Vyjádříme absolutní změnu délky tyče Δl
\[\Delta l=\epsilon l_o=\frac{p}{E} l_o,\]kde l0 jsme si označili původní délku tyče.
Dále si vyjádříme změnu délky způsobenou změnou teploty o Δt
\[\Delta l=l_o\alpha \Delta t.\]Porovnáním obou vyjádření pro změnu délky Δl dostáváme rovnici
\[\frac{p}{E}l_o=l_o\alpha \Delta t,\]ze které můžeme vyjádřit neznámý teplotní rozdíl a dosadit zadané hodnoty
\[\Delta t=\frac{p}{\alpha E}=\frac{5\cdot{10^6}}{1{,}2\cdot{10^{-5}} \cdot{2{,}1}\cdot{10^11}}\,\mathrm{K}\dot{=}2\,\mathrm{K}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,t \dot{=}2 \mathrm{^\circ C}\]Odpověď
Teplota se může zvětšit maximálně o 2 °C. Při větším růstu teploty by tlak na stykové ploše stěny a vzpěry již přesáhl bezpečnou hodnotu.
