Změna rozměrů kovové desky při zahřívání

Úloha číslo: 2052

V hliníkové destičce o rozměrech 10 cm x 10 cm je kulatý otvor o průměru 36 mm. O kolik stupňů musíme destičku zahřát, aby otvorem mohla projít kulička, jejíž průměr je 36,1 mm?

  • Zápis

    d0 = 36,0 mm = 3,60·10−2 m průměr kulatého otvoru před zahřátím
    l0 obvod kulatého otvoru před zahřátím
    dk = 36,1 mm = 3,61·10−2 m průměr kuličky
    lk obvod nejmenšího otvoru, kterým kulička projde

    Z tabulek:

    α = 2,4·10−5 K−1 součinitel teplotní délkové roztažnosti hliníku
  • Rozbor

    Otvor v destičce je menší než obvod průmětu kuličky do roviny (dále jen obvod kuličky). Zahřejeme-li destičku, její rozměry i otvor uprostřed se zvětší v důsledku teplotní roztažnosti. Kulička tak bude moci otvorem projít.

    K řešení úlohy budeme potřebovat znát vztah pro prodloužení předmětu při délkové teplotní roztažnosti. Tento vztah využíváme k výpočtu změn délek předmětů, jejichž jeden rozměr je výrazně větší, než zbylé dva (např. tyče nebo dráty). Můžeme si představit, že kovová destička je tvořena spoustou tenkých kovových pásků. Potom při výpočtu jejího zvětšení zahřátím můžeme využít vztah pro délkovou teplotní roztažnost.

    Obr. 1: Obvod kuličky je znázorněn čárkovanou čarou okolo otvoru v destičce.

    Obr. 1: Hliníková destiča a kulička

    Obvod otvoru se musí zvětšit, aby minimálně odpovídal obvodu kuličky. Napíšeme tedy vztah pro zvětšený obvod otvoru po zahřátí a položíme ho roven obvodu kuličky. Odtud pak vyjádříme potřebnou změnu teploty.

  • Nápověda

    Představte si destičku "rozkrájenou" na tenké soustředné kroužky se středem uprostřed otvoru. Napište, jak se změní obvod takového kroužku při zahřátí o teplotu Δt.

  • Řešení

    Obr. 2: U otvoru destičky si můžeme představit kovový pásek

    Obvod kulatého otvoru o průměru d0 před zahřátím vypočítáme jako

    \[l_{\mathrm{0}} = πd_{\mathrm{0}}.\tag{1}\]

    Zvýší-li se teplota hliníkové destičky o Δt, zvětší se kulatý otvor a pro jeho obvod l bude platit vztah

    \[l = l_{\mathrm{0}}(1+αΔt).\tag{2}\]

    Kulička má průměr dk. Otvor, kterým by kulička prošla, musí tedy mít průměr alespoň dk. Obvod takového otvoru lk vypočítáme jako

    \[l_{\mathrm{k}} = πd_{\mathrm{k}}.\tag{3}\]

    Aby kulička mohla projít otvorem, musí být jeho obvod po zahřátí alespoň lk. Do vztahu (2) dosadíme za l obvod kuličky lk

    \[l_{\mathrm{k}} = l_{\mathrm{0}}(1+αΔt).\]

    Do vztahu (2) nyní dosadíme (1) a (3)

    \[πd_{\mathrm{k}} = πd_{\mathrm{0}}(1+αΔt),\]

    tento vztah upravíme a vyjádříme z něho Δt

    \[\frac{d_{\mathrm{k}}}{d_{\mathrm{0}}}−1 = αΔt\] \[Δt = \frac{d_{\mathrm{k}}−d_{\mathrm{0}}}{α·d_{\mathrm{0}}}.\tag{4}\]

    Dále do vztahu (4) dosadíme hodnoty ze zadání a vypočítáme, o kolik stupňů je potřeba zahřát destičku

    \[Δt = \frac{3{,}61·10^{−2}−3{,}60·10^{−2}}{2{,}4·10^{−5}·3{,}60·10^{−2}} °\mathrm{C}\] \[Δt \dot{=} 115{,}7 °\mathrm{C}.\]
  • Odpověď

    Chceme-li, aby kulička prošla kulatým otvorem, je třeba ohřát hliníkovou destičku alespoň o 115,7 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Inspirováno: Epstein, L.C., Hewitt, P., C.: Thonking Physics. Insight
Press, 1981
×Původní zdroj: Inspirováno: Epstein, L.C., Hewitt, P., C.: Thonking Physics. Insight Press, 1981
Zaslat komentář k úloze