Sbírka řešených úloh

Změna rozměrů kovové desky při zahřívání

Úloha číslo: 2052

• Zápis

  d0 = 36,0 mm = 3,60·10−2 m	průměr kulatého otvoru před zahřátím
  l0	obvod kulatého otvoru před zahřátím
  dk = 36,1 mm = 3,61·10−2 m	průměr kuličky
  lk	obvod nejmenšího otvoru, kterým kulička projde

  Z tabulek:

  α = 2,4·10−5 K−1

  součinitel teplotní délkové roztažnosti hliníku

• Rozbor

  Otvor v destičce je menší než obvod průmětu kuličky do roviny (dále jen obvod kuličky). Zahřejeme-li destičku, její rozměry i otvor uprostřed se zvětší v důsledku teplotní roztažnosti. Kulička tak bude moci otvorem projít.

  K řešení úlohy budeme potřebovat znát vztah pro prodloužení předmětu při délkové teplotní roztažnosti. Tento vztah využíváme k výpočtu změn délek předmětů, jejichž jeden rozměr je výrazně větší, než zbylé dva (např. tyče nebo dráty). Můžeme si představit, že kovová destička je tvořena spoustou tenkých kovových pásků. Potom při výpočtu jejího zvětšení zahřátím můžeme využít vztah pro délkovou teplotní roztažnost.

  Obr. 1: Obvod kuličky je znázorněn čárkovanou čarou okolo otvoru v destičce.

  

  Obvod otvoru se musí zvětšit, aby minimálně odpovídal obvodu kuličky. Napíšeme tedy vztah pro zvětšený obvod otvoru po zahřátí a položíme ho roven obvodu kuličky. Odtud pak vyjádříme potřebnou změnu teploty.

• Nápověda

  Představte si destičku "rozkrájenou" na tenké soustředné kroužky se středem uprostřed otvoru. Napište, jak se změní obvod takového kroužku při zahřátí o teplotu Δt.

• Řešení nápovědy

  Má-li kroužek na začátku obvod o délce l₀ a zahřejeme-li ho o teplotu Δt, prodlouží se obvod na délku l. Prodloužení bude úměrné počáteční délce a změně teploty. Vyjádřit ho můžeme vztahem:

  \[Δl = l - l_{\mathrm{0}} = l_{\mathrm{0}}αΔt,\]

  kde α je součinitel teplotní délkové roztažnosti materiálu, ze kterého je kroužek vyroben.

  Délku obvodu kroužku po zahřátí pak vypočítáme ze vztahu:

  \[l = l_{\mathrm{0}}(1+αΔt).\]

• Řešení

  

  Obvod kulatého otvoru o průměru d₀ před zahřátím vypočítáme jako

  \[l_{\mathrm{0}} = πd_{\mathrm{0}}.\tag{1}\]

  Zvýší-li se teplota hliníkové destičky o Δt, zvětší se kulatý otvor a pro jeho obvod l bude platit vztah

  \[l = l_{\mathrm{0}}(1+αΔt).\tag{2}\]

  Kulička má průměr d_k. Otvor, kterým by kulička prošla, musí tedy mít průměr alespoň d_k. Obvod takového otvoru l_k vypočítáme jako

  \[l_{\mathrm{k}} = πd_{\mathrm{k}}.\tag{3}\]

  Aby kulička mohla projít otvorem, musí být jeho obvod po zahřátí alespoň l_k. Do vztahu (2) dosadíme za l obvod kuličky l_k

  \[l_{\mathrm{k}} = l_{\mathrm{0}}(1+αΔt).\]

  Do vztahu (2) nyní dosadíme (1) a (3)

  \[πd_{\mathrm{k}} = πd_{\mathrm{0}}(1+αΔt),\]

  tento vztah upravíme a vyjádříme z něho Δt

  \[\frac{d_{\mathrm{k}}}{d_{\mathrm{0}}}−1 = αΔt\] \[Δt = \frac{d_{\mathrm{k}}−d_{\mathrm{0}}}{α·d_{\mathrm{0}}}.\tag{4}\]

  Dále do vztahu (4) dosadíme hodnoty ze zadání a vypočítáme, o kolik stupňů je potřeba zahřát destičku

  \[Δt = \frac{3{,}61·10^{−2}−3{,}60·10^{−2}}{2{,}4·10^{−5}·3{,}60·10^{−2}} °\mathrm{C}\] \[Δt \dot{=} 115{,}7 °\mathrm{C}.\]

• Odpověď

  Chceme-li, aby kulička prošla kulatým otvorem, je třeba ohřát hliníkovou destičku alespoň o 115,7 °C.

• Odkaz na pokus

  Pokus k této úloze najdete zde: Zahřívání hliníkové desky s otvorem.