Sbírka řešených úloh

Zateplení domu

Úloha číslo: 356

• Nápověda

  K řešení je třeba použít rovnici vedení tepla, která říká, že teplo, které projde materiálem, je úměrné rozdílu teplot na jeho koncích.

  Vzhledem k tomu, že oba materiály - beton a polystyrén jsou za sebou, musí v ustáleném stavu teplo, které projde betonem, následně projít i polystyrénem, a to „stejně rychle“. Jinak by docházelo ke změnám teploty mezi nimi. Teplotu mezi oběma materiály tedy zjistíme z toho, že teplotní tok betonem se musí rovnat teplotnímu toku polystyrénem.

• Rovnice vedení tepla

  Rovnice pro vedení tepla zní:

  $$Q=\lambda\frac{S\mathrm{\Delta}t}{d}\tau,$$

  kde Q je prošlé teplo, λ je součinitel tepelné vodivosti (charakterizující materiál), který pro konkrétní materiál vyhledáme v tabulkách, S je obsah plochy a d tloušťka materiálu, přes který teplo prochází, Δt je teplotní rozdíl mezi oběma konci materiálu a τ je čas.

  Rovnice předpokládá, že teplotní rozdíl obou konců je konstantní.

• Zápis

  d1 = 0,2 m		tloušťka zdi
  d2 = 0,1 m		tloušťka polystyrénového zateplení
  t1 = 20 °C		vnitřní teplota
  t2 = −10 °C		venkovní teplota
  t = ?		teplota mezi zdí a polystyrénem
  Q1 /Q1= ?		podíl tepel uniklých izolovanou a neizolovanou zdí
  Z tabulek:
  λ1 = 1,3 Wm−1K−1		součinitel tepelné vodivosti zdi (panel = beton)
  λ2 = 0,1 Wm−1K−1		součinitel tepelné vodivosti polystyrénu

• Rozbor

  V rovnovážném stavu platí pro izolovanou zeď, že teplo, které projde za daný čas panelovou zdí, se musí rovnat teplu, které projde za stejný čas polystyrénovou izolací. Protože množství tepla, které projde materiálem, je úměrné rozdílu teplot na jeho koncích (za předpokladu, že tyto teploty jsou konstantní), můžeme z rovnosti prošlých tepel určit teplotu mezi zdí a polystyrénem.

  Teplo, které projde zdí s izolací, se rovná teplu, které projde pouze zdí při rozdílu teplot uvnitř a mezi zdí a izolací. A také se rovná teplu, které projde polystyrénovou izolací mezi teplotou vně domu a teplotou mezi zdí a izolací.

• Řešení

  Rovnice pro vedení tepla zní:

  $$Q=\lambda\frac{S\Delta t}{d}\tau,$$

  kde Q je teplo prošlé za čas τ, λ je součinitel tepelné vodivosti (charakterizující materiál), S je plocha a d tloušťka materiálu, přes který teplo prochází, a Δt je teplotní rozdíl mezi oběma konci materiálu, který musí být udržován konstantní.

  Pro určení teploty mezi zdí a polystyrénovou izolací využijeme toho, že v ustáleném stavu projde zdí a polystyrénovou izolací za daný čas stejné teplo (v opačném případě by se měnila teplota mezi zdí a polystyrénem), tj. bude platit:

  $$\lambda_1\frac{S\left(t_1-t\right)}{d_1}\tau=\lambda_2\frac{S\left(t-t_2\right)}{d_2}\tau.$$

  Odtud vyjádříme hledanou teplotu t:

  $$d_2\lambda_1\left(t_1-t\right)=d_1\lambda_2\left(t-t_2\right),$$ $$d_2\lambda_1t+d_1\lambda_2t=d_2\lambda_1t_1+d_1\lambda_2t_2,$$ $$t=\frac{d_2\lambda_1t_1+d_1\lambda_2t_2}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}=\frac{0{,}1\cdot{1{,}3}\cdot{20}+0{,}2\cdot{0{,}1}\cdot(-10)}{0{,}1\cdot{1{,}3}+0{,}2\cdot{0{,}1}}\,\mathrm{^\circ C}=16\,\mathrm{^\circ C}.$$

  Pro výpočet zmenšení tepelných ztrát si vyjádříme teplo, které prošlo neizolovanou a izolovanou zdí za daný čas. Neizolovaná zeď:

  $$Q_1=\lambda_1\frac{S\left(t_1-t_2\right)}{d_1}\tau.$$

  U izolované zdi se prošlé teplo rovná teplu, které projde jen zdí při menším tepelném rozdílu:

  $$Q_2=\lambda_1\frac{S\left(t_1-t\right)}{d_1}\tau.$$

  Sem za t dosadíme z předcházejícího vztahu:

  $$Q_2=\lambda_1\frac{S\left(t_1-\frac{d_2\lambda_1t_1+d_1\lambda_2t_2}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}\right)}{d_1}\tau,$$ $$Q_2=\lambda_1\frac{S\tau}{d_1}\frac{d_2\lambda_1t_1+d_1\lambda_2t_1-d_2\lambda_1t_1-d_1\lambda_2t_2}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2},$$ $$Q_2=\lambda_1\frac{S\tau}{d_1}\frac{d_1\lambda_2t_1-d_1\lambda_2t_2}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}=\frac{\lambda_1\lambda_2\left(t_1-t_2\right)}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}S\tau.$$

  Poznámka: Vidíme, že obě tepelné vodivosti λ₁ a λ₂ jsou zde v rovnocenné pozici, takže stejný vztah bychom dostali, i pokud bychom vyjadřovali teplo, které projde přes polystyrén (z podmínky rovnosti tepel jsme odvodili teplotu t, proto musí obě tepla vyjít stejná) a odpovídá teplu, které projde izolovanou zdí.

  Také nám výsledný vztah dává návod, jak určit „průměrnou tepelnou vodivost“ pro složený materiál. Pokud bychom chtěli najít λ takové, aby se dalo použít na zeď s izolací jako celek (s celkovou tloušťkou d₁ + d₂), tak porovnáním získaného vztahu a obecné rovnice pro vedení tepla dostáváme: $$\lambda\frac{S\left(t_1-t_2\right)}{d_1+d_2}\tau=\frac{\lambda_1\lambda_2\left(t_1-t_2\right)}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}S\tau,$$ $$\lambda=\frac{\lambda_1\lambda_2\left(d_1-d_2\right)}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}.$$

  Nakonec určíme podíl obou tepel:

  $$\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{\frac{\lambda_1\lambda_2\left(t_1-t_2\right)}{d_2\lambda_1+d_1\lambda_2}S\tau}{\lambda_1\frac{S\left(t_1-t_2\right)}{d_1}\tau}=\frac{0{,}2\cdot{0{,}1}}{0{,}1\cdot{1{,}3}+0{,}2\cdot{0{,}1}}=0{,}13=13\%\,.$$

• Odpověď

  Teplota mezi zdí a polystyrénem je 16 °C a po izolování zdí klesne únik tepla zdmi na 13 % původní hodnoty.