Počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu

Úloha číslo: 1735

Určete počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu při normálním tlaku vzduchu a pokojové teplotě.

  • Zápis

    V = 1 cm3 = 10−6 m3 objem vzduchu
    p = 101325 Pa normální tlak vzduchu
    T = 20 °C = 293 K pokojová teplota vzduchu
    N(O2) = ? počet molekul kyslíku v 1 cm3

    Z tabulek:

    k = 1,38·10−23 J·K−1 Boltzmannova konstanta
    R = 8,314 J·K−1·mol−1 molární plynová konstanta
    NA = 6,022·1023 mol−1 Avogadrova konstanta
  • Rozbor

    Počet molekul kyslíku ve vzduchu určíme dvěma způsoby. V obou budeme předpokládat, že vzduch můžeme za daných podmínek považovat za ideální plyn a využijeme stavovou rovnici.

    V prvním případě použijeme tvar stavové rovnice, kde vystupuje počet molekul. Musíme si ale uvědomit, že vzduch je tvořen mnoha plyny. Kyslík, který nás při řešení této úlohy zajímá, zaujímá 21 % daného objemu vzduchu. Počet molekul kyslíku získáme tak, že zjištěný počet molekul v 1 cm3 vzduchu vynásobíme poměrem 21/100.

    Při druhém způsobu výpočtu vyjdeme opět ze stavové rovnice. Zvolíme tvar, kde vystupuje látkové množství a spočítáme, jaký objem zaujímá 1 mol vzduchu za daných podmínek. Dále využijeme Avogadrovu konstantu, která udává počet částic v 1 molu látky. Zjistíme počet částic v 1 l vzduchu a následně v 1 cm3 vzduchu. Poté určíme poměrnou část molekul připadající na kyslík.

  • Nápověda 1 – stavová rovnice pro počet molekul

    Napište stavovou rovnici ideálního plynu. Potřebujeme ji ve tvaru, kde se vyskytuje počet molekul.

  • Nápověda 2 - stavová rovnice pro látkové množství

    Napište si stavovou rovnici ve tvaru, kde vystupuje látkové množství. Určete s její pomocí, jaký objem zaujímá 1 mol vzduchu za daných podmínek. Uvědomte si, kolik částic obsahuje 1 mol látky, tedy i 1 mol vzduchu.

  • Řešení přes stavovou rovnici pro počet molekul

    Stavová rovnice ideálního plynu pro počet molekul má tvar

    \[pV = NkT.\tag{1}\]

    Z rovnice (1) vyjádříme počet molekul N

    \[N = \frac{pV}{kT}.\tag{2}\]

    Veličina N vyjadřuje počet všech molekul plynu daného objemu. Vzduch je směsí různých plynů a kyslíku obsahuje 21 %. Počet molekul kyslíku tedy získáme vynásobením vztahu (2) příslušnou procentní částí kyslíku.

    \[N(O_{2}) = \frac{21}{100}\frac{pV}{kT}.\tag{3}\]

    Do vztahu (3) dosadíme známé hodnoty a vypočítáme počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu

    \[N(O_{2}) = \frac{21}{100}\frac{101325·10^{−6}}{1{,}38·10^{−23}·293}\] \[N(O_{2}) \dot{=}\, 5{,}3·10^{18}.\]
  • Řešení přes stavovou rovnici pro látkové množství

    Stavová rovnice ideálního plynu pro látkové množství má tvar

    \[pV = nRT.\tag{4}\]

    Z rovnice (4) vyjádříme objem V

    \[V = \frac{nRT}{p}.\]

    Zvolíme látkové množství 1 mol a vypočteme odpovídající objem vzduchu za daných podmínek.

    \[V = \frac{1·8{,}314·293}{101325} \mathrm{m^{3}} \dot{=}\, 0{,}024 \mathrm{m^{3}} \dot{=}\, 24 \mathrm{l}\]

    Avogadrova konstanta NA udává počet částic v 1 molu látky. Její hodnotu najdeme v tabulkách.

    Platí tedy, že 24 l vzduchu obsahuje NA částic.

    Počet částic v 1 l vzduchu vypočítáme jako

    \[N_{1 l} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{24}.\tag{5}\]

    Nás zajímá počet částic v 1 cm3, ten získáme vydělením rovnice (5) číslem 103 (převádíme z dm3 na cm3)

    \[N_{1 cm^{3}} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{24·10^{3}}.\tag{6}\]

    Kyslík tvoří přibližně 21 % vzduchu. Počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu zíkáme vynásobením vztahu (6) číslem 21/100

    \[N(\mathrm{O_{2}}) = \frac{21}{100}\frac{N_{\mathrm{A}}}{24·10^{3}}.\tag{7}\]

    Do vztahu (7) dosadíme hodnotu Avogadrovy konstanty a vypočítáme počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu

    \[N(\mathrm{O_{2}}) = \frac{21}{100}\frac{6{,}022·10^{23}}{24·10^{3}}\] \[N(\mathrm{O_{2}}) \dot{=}\, 5{,}3·10^{18}.\]
  • Odpověď

    V 1 cm3 vzduchu je při normální teplotě a tlaku přibližně 5,3·1018 molekul kyslíku.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a
statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
×Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
Zaslat komentář k úloze