Počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu
Úloha číslo: 1735
Určete počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu při normálním tlaku vzduchu a pokojové teplotě.
Zápis
V = 1 cm3 = 10−6 m3 objem vzduchu p = 101325 Pa normální tlak vzduchu T = 20 °C = 293 K pokojová teplota vzduchu N(O2) = ? počet molekul kyslíku v 1 cm3 Z tabulek:
k = 1,38·10−23 J·K−1 Boltzmannova konstanta R = 8,314 J·K−1·mol−1 molární plynová konstanta NA = 6,022·1023 mol−1 Avogadrova konstanta Rozbor
Počet molekul kyslíku ve vzduchu určíme dvěma způsoby. V obou budeme předpokládat, že vzduch můžeme za daných podmínek považovat za ideální plyn a využijeme stavovou rovnici.
V prvním případě použijeme tvar stavové rovnice, kde vystupuje počet molekul. Musíme si ale uvědomit, že vzduch je tvořen mnoha plyny. Kyslík, který nás při řešení této úlohy zajímá, zaujímá 21 % daného objemu vzduchu. Počet molekul kyslíku získáme tak, že zjištěný počet molekul v 1 cm3 vzduchu vynásobíme poměrem 21/100.
Při druhém způsobu výpočtu vyjdeme opět ze stavové rovnice. Zvolíme tvar, kde vystupuje látkové množství a spočítáme, jaký objem zaujímá 1 mol vzduchu za daných podmínek. Dále využijeme Avogadrovu konstantu, která udává počet částic v 1 molu látky. Zjistíme počet částic v 1 l vzduchu a následně v 1 cm3 vzduchu. Poté určíme poměrnou část molekul připadající na kyslík.
Nápověda 1 – stavová rovnice pro počet molekul
Napište stavovou rovnici ideálního plynu. Potřebujeme ji ve tvaru, kde se vyskytuje počet molekul.
Nápověda 2 - stavová rovnice pro látkové množství
Napište si stavovou rovnici ve tvaru, kde vystupuje látkové množství. Určete s její pomocí, jaký objem zaujímá 1 mol vzduchu za daných podmínek. Uvědomte si, kolik částic obsahuje 1 mol látky, tedy i 1 mol vzduchu.
Řešení přes stavovou rovnici pro počet molekul
Stavová rovnice ideálního plynu pro počet molekul má tvar
\[pV = NkT.\tag{1}\]Z rovnice (1) vyjádříme počet molekul N
\[N = \frac{pV}{kT}.\tag{2}\]Veličina N vyjadřuje počet všech molekul plynu daného objemu. Vzduch je směsí různých plynů a kyslíku obsahuje 21 %. Počet molekul kyslíku tedy získáme vynásobením vztahu (2) příslušnou procentní částí kyslíku.
\[N(O_{2}) = \frac{21}{100}\frac{pV}{kT}.\tag{3}\]Do vztahu (3) dosadíme známé hodnoty a vypočítáme počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu
\[N(O_{2}) = \frac{21}{100}\frac{101325·10^{−6}}{1{,}38·10^{−23}·293}\] \[N(O_{2}) \dot{=}\, 5{,}3·10^{18}.\]Řešení přes stavovou rovnici pro látkové množství
Stavová rovnice ideálního plynu pro látkové množství má tvar
\[pV = nRT.\tag{4}\]Z rovnice (4) vyjádříme objem V
\[V = \frac{nRT}{p}.\]Zvolíme látkové množství 1 mol a vypočteme odpovídající objem vzduchu za daných podmínek.
\[V = \frac{1·8{,}314·293}{101325} \mathrm{m^{3}} \dot{=}\, 0{,}024 \mathrm{m^{3}} \dot{=}\, 24 \mathrm{l}\]Avogadrova konstanta NA udává počet částic v 1 molu látky. Její hodnotu najdeme v tabulkách.
Platí tedy, že 24 l vzduchu obsahuje NA částic.
Počet částic v 1 l vzduchu vypočítáme jako
\[N_{1 l} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{24}.\tag{5}\]Nás zajímá počet částic v 1 cm3, ten získáme vydělením rovnice (5) číslem 103 (převádíme z dm3 na cm3)
\[N_{1 cm^{3}} = \frac{N_{\mathrm{A}}}{24·10^{3}}.\tag{6}\]Kyslík tvoří přibližně 21 % vzduchu. Počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu zíkáme vynásobením vztahu (6) číslem 21/100
\[N(\mathrm{O_{2}}) = \frac{21}{100}\frac{N_{\mathrm{A}}}{24·10^{3}}.\tag{7}\]Do vztahu (7) dosadíme hodnotu Avogadrovy konstanty a vypočítáme počet molekul kyslíku v 1 cm3 vzduchu
\[N(\mathrm{O_{2}}) = \frac{21}{100}\frac{6{,}022·10^{23}}{24·10^{3}}\] \[N(\mathrm{O_{2}}) \dot{=}\, 5{,}3·10^{18}.\]Odpověď
V 1 cm3 vzduchu je při normální teplotě a tlaku přibližně 5,3·1018 molekul kyslíku.
