Tavení olova
Úloha číslo: 463
Teplota tání olova při tlaku 100 kPa je 327 °C. Určete měrné skupenské teplo tání olova, jestliže při zvětšení vnějšího tlaku na hodnotu 200 kPa se teplota tání zvětšila o hodnotu 0,008 °C. Olovo táním zvětší svůj objem o 3,4 %.
Nápověda 1
K výpočtu měrného skupenského tepla tání lt použijte tzv. Clausiovu-Clapeyronovu rovnici ve vhodném tvaru. Rozmyslete si, které veličiny v ní znáte a které musíte ještě vyjádřit.
Nápověda 2
Změna teploty tání je v porovnání s její absolutní velikostí extrémně malá. Proto lze pokládat pravou stranu Clausiovy-Clapeyronovy rovnice za konstantní, nahradit diferenciální přírůstky na levé straně „klasickými deltami“ (tj. rozdíly hodnot) a vyhnout se tak řešení diferenciální rovnice.
Zápis
p1 = 100 kPa = 105 Pa počáteční vnější tlak p2 = 200 kPa = 2·105 Pa vnější tlak po změně t = 327 °C => T = 600,15 K teplota tání olova při p1 Δt = 0,008 °C => ΔT = 0,008 K změna teploty tání V2 = 1,034V1 výsledný objem olova po tání lt = ? měrné skupenské teplo taní olova
Z tabulek:
ρ = 11 340 kg m−3 hustota olova v pevném stavu Rozbor
K výpočtu měrného skupenského tepla tání použijeme tzv. Clausiovu-Clapeyronovu rovnici. Jedná se v podstatě o diferenciální rovnici udávající skutečnost, že podíl elementární změny tlaku a elementární změny teploty, za níž probíhá fázový přechod, je roven podílu měrného skupenského tepla přeměny a výrazu, v němž je součin termodynamické teploty a rozdílu objemů jednoho kilogramu látky v 2. a 1. fázi.
Objem jednoho kilogramu olova v pevném stavu vyjádříme pomocí hustoty pevného olova.
Změna teploty tání je v porovnání s její absolutní velikostí extrémně malá. Proto budeme pokládat pravou stranu Clausiovy-Clapeyronovy rovnice za konstantní, nahradíme diferenciální přírůstky na levé straně rozdíly hodnot a vyhneme se tak řešení diferenciální rovnice.
Poté, co zapíšeme změnu tlaku jako rozdíl změněného a původního tlaku, dostaneme vztah, ze kterého již můžeme rovnou vytknout hledané měrné skupenské teplo tání.
Řešení
Při počítání této úlohy využijeme tzv. Clausiovu-Clapeyronovu rovnici
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{l_{t}}{T(V_{kg2}-V_{kg1})},\]kde p je vnější tlak, T teplota tání, lt měrné skupenské teplo tání, Vkg1 objem jednoho kilogramu olova v pevném stavu a Vkg2 objem jednoho kilogramu olova v kapalném stavu.
Ze zadání víme, že platí
\[V_{kg2}=1{,}034V_{kg1}.\]Po dosazení tohoto vztahu do původní rovnice
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{l_{t}}{T(1{,}034V_{kg1}-V_{kg1})}\]dostaneme zjednodušený výraz
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{l_{t}}{0{,}034TV_{kg1}}.\]Objem Vkg1 neznáme. Můžeme ho ale vyjádřit pomocí hustoty ρ pevného olova vztahem
\[V_{kg1}=\frac{1\,\mathrm{kg}}{\rho}.\]Získáme tak rovnici
\[\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T}=\frac{l_{t}}{0{,}034T\,\frac{1\,\mathrm{kg}}{\rho}}.\]Změna teploty tání je v porovnání s její absolutní velikostí extrémně malá. Z tohoto důvodu můžeme pokládat pravou stranu rovnice za konstantní, nahradit diferenciální přírůstky na levé straně klasickými „deltami“ a vyhnout se tak řešení diferenciální rovnice. Chyba, jíž se tímto krokem dopustíme, je naprosto zanedbatelná. Můžeme psát
\[\frac{\mathrm{\Delta}p}{\mathrm{\Delta}T}=\frac{l_{t}\rho}{0{,}034T\,(1\,\mathrm{kg})}.\]Odtud již můžeme vyjádřit hledané měrné skupenské teplo tání lt olova
\[l_{t}=\frac{0{,}034T\,(1\,\mathrm{kg})\mathrm{\Delta}p}{\rho\mathrm{\Delta}T}.\]Nakonec ještě změnu tlaku Δp rozepíšeme jako rozdíl tlaku p2 po změně a původního tlaku p1
\[l_{t}=\frac{0{,}034T(1\,\mathrm{kg})(p_2-p_1)}{\rho\mathrm{\Delta}T}.\]Číselné dosazení
\[l_{t}=\frac{0{,}034T(1\,\mathrm{kg})(p_2-p_1)}{\rho\mathrm{\Delta}T}=\frac{0{,}034\cdot{600{,}15}\cdot{1}\cdot(2\cdot{10^5}-1\cdot{10^5})}{11\,340\cdot{0{,}008}}\,\mathrm{J\,kg^{-1}}\] \[l_{t}\dot{=}22\,500\,\mathrm{J\,kg^{-1}}=22{,}5\,\mathrm{kJ\,kg^{-1}}\]Odpověď
Měrné skupenské teplo tání olova je přibližně 22,5 kJ kg−1.
