Solení jezera

Úloha číslo: 338

Do jezera, které má průměrnou hloubku 10 m a plochu 10 km2, byla nasypána lžička soli (cca 2 g). Předpokládejte, že se sůl v jezeře rozpustila rovnoměrně.

Určete, kolik iontů sodíku bude obsaženo v jedné lžičce jezerní vody (5 ml).

  • Nápověda

    Kuchyňská sůl je chemicky chlorid sodný, tj. jedna „molekula“ soli se skládá z jednoho atomu sodíku a jednoho atomu chlóru.

    Nejprve si určete, kolik atomů sodíku jsme do jezera nasypali, a potom spočítejte, kolik z nich připadne na objem vody v jedné lžičce.

  • Zápis veličin

    h = 10 m průměrná hloubka jezera
    S = 10 km2 = 107 m2 obsah povrchu vody v jezeře
    m = 2 g = 2·10−3 kg hmotnost soli
    VL = 5 ml = 5 cm3 = 5·10−6 m3 objem lžičky
    NL = ? hledaný počet iontů sodíku ve lžičce vody
  • Rozbor

    Terminologická poznámka: Krystalky kuchyňské soli obsahují ve skutečnosti sodíkové kationty a anionty chlóru, které drží pohromadě iontová vazba. Při rozpuštění soli ve vodě se krystalky rozpadnou také na jednotlivé ionty. Z tohoto důvodu je sporné, zda vůbec má smysl hovořit o molekule soli. Pro zjednodušení textu úlohy budeme používat termín molekula soli a budeme pod tím rozumět dvojici ionu sodíku a chlóru.

    Nejprve si určíme počet molekul soli (NaCl), který byl do jezera nasypán. Protože každá molekula obsahuje právě jeden iont sodíku, je počet sodíkových iontů shodný s počtem molekul. Potom určíme objem vody v jezeře. Vzhledem k předpokladu rovnoměrného rozpuštění soli můžeme určit hustotu sodíkových iontů v jezerní vodě a z ní i počet iontů ve lžičce vody.

  • Řešení

    Relativní molekulová hmotnost soli je

    \[A_r\mathrm{(NaCl)}\,=\,A_r\mathrm{(Na)} + A_r\mathrm{(Cl)}\] \[A_r\mathrm{(NaCl)}\,=\,23{,}0 \,+\, 35{,}5 \,=\,58{,}5\,.\]

    Počet molekul N zjistíme tak, že celkovou hmotnost soli vydělíme hmotností jedné molekuly

    \[N\,=\,\frac{m}{m_0}\,=\,\frac{m}{A_r m_u}\] \[N\,=\,\frac{2\,\cdot\,10^{-3}\mathrm{kg}}{58{,}5\,\cdot\,1{,}66\,\cdot\,10^{-27}\mathrm{kg}}\,\dot=\,2{,}06\,\cdot\,10^{22}\]

    Nebo lze k výpočtu počtu molekul N použít látkové množství n, které určím pomocí molární hmotnosti Mm.

    \[N\,=\,n N_A\,=\,\frac{m N_A}{M_m}\,=\,\frac{m N_A}{A_r \,\cdot\,10^{-3}\mathrm{kg\, mol}^{-1}}\] \[N\,=\,\frac{2 \,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}}{58{,}5 \,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{kg\, mol}^{-1}}\,\dot=\,2{,}06\,\cdot\,10^{22}\]

    Počet molekul soli je stejný jako počet sodíkových iontů.

    Celkový objem V vody v jezeře se rovná součinu obsahu jeho plochy S a průměrné hloubky h.

    \[V\,=\,S h\,=\,10\,\cdot\,10^6 \,\mathrm{m}^{2}\,\cdot\,10 \,\mathrm{m}\,=\,10^8 \,\mathrm{m}^3.\]

    Za předpokladu rovnoměrného rozpuštění soli musí platit, že poměr počtu sodíkových iontů v celém jezeře a jeho objemu se bude rovnat poměru počtu iontů na lžičce vody a objemu lžičky. Jedná se vlastně o objemovou hustotu iontů, která musí být v jezeře i na lžičce stejná.

    \[\frac{N}{V}\,=\,\frac{N_L}{V_L}\]

    Odtud vyjádříme NL a za N a V dosadíme dříve odvozené obecné vztahy:

    \[N_L\,=\,\frac{N}{V}\,V_L\,=\,\frac{\frac{m\,N_A}{M_m}}{Sh}\,V_L\,=\,\frac{m\,N_A}{M_mSh}\,V_L\] \[N_L\,=\,\frac{2\,\cdot\,10^{-3} \,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}}{58{,}5\,\cdot\,10^{-3}\,\cdot\,10^{7}\,\cdot\,10}\,\cdot\,5\,\cdot\,10^{-6}\,\dot=\,1\,\cdot\,10^{9}\]
  • Odpověď

    V jedné lžičce vody nabrané z jezera by byla asi miliarda iontů sodíku. Vidíme, že i když nasypeme poměrně malé množství soli do velkého objemu vody, i na relativně malý objem jedné lžičky připadá stále obrovské množství částic.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze