Solení jezera
Úloha číslo: 338
Do jezera, které má průměrnou hloubku 10 m a plochu 10 km2, byla nasypána lžička soli (cca 2 g). Předpokládejte, že se sůl v jezeře rozpustila rovnoměrně.
Určete, kolik iontů sodíku bude obsaženo v jedné lžičce jezerní vody (5 ml).
Nápověda
Kuchyňská sůl je chemicky chlorid sodný, tj. jedna „molekula“ soli se skládá z jednoho atomu sodíku a jednoho atomu chlóru.
Nejprve si určete, kolik atomů sodíku jsme do jezera nasypali, a potom spočítejte, kolik z nich připadne na objem vody v jedné lžičce.
Zápis veličin
h = 10 m průměrná hloubka jezera S = 10 km2 = 107 m2 obsah povrchu vody v jezeře m = 2 g = 2·10−3 kg hmotnost soli VL = 5 ml = 5 cm3 = 5·10−6 m3 objem lžičky NL = ? hledaný počet iontů sodíku ve lžičce vody Rozbor
Terminologická poznámka: Krystalky kuchyňské soli obsahují ve skutečnosti sodíkové kationty a anionty chlóru, které drží pohromadě iontová vazba. Při rozpuštění soli ve vodě se krystalky rozpadnou také na jednotlivé ionty. Z tohoto důvodu je sporné, zda vůbec má smysl hovořit o molekule soli. Pro zjednodušení textu úlohy budeme používat termín molekula soli a budeme pod tím rozumět dvojici iontu sodíku a chlóru.
Nejprve si určíme počet molekul soli (NaCl), který byl do jezera nasypán. Protože každá molekula obsahuje právě jeden iont sodíku, je počet sodíkových iontů shodný s počtem molekul. Potom určíme objem vody v jezeře. Vzhledem k předpokladu rovnoměrného rozpuštění soli můžeme určit hustotu sodíkových iontů v jezerní vodě a z ní i počet iontů ve lžičce vody.
Řešení
Relativní molekulová hmotnost soli je
\[A_\mathrm{r}\mathrm{(NaCl)}\,=\,A_\mathrm{r}\mathrm{(Na)} + A_\mathrm{r}\mathrm{(Cl)}\] \[A_\mathrm{r}\mathrm{(NaCl)}\,=\,23{,}0 \,+\, 35{,}5 \,=\,58{,}5\,.\]Počet molekul N zjistíme tak, že celkovou hmotnost soli vydělíme hmotností jedné molekuly:
\[N\,=\,\frac{m}{m_0}\,=\,\frac{m}{A_\mathrm{r} m_\mathrm{u}},\] \[N\,=\,\frac{2\,\cdot\,10^{-3}\mathrm{kg}}{58{,}5\,\cdot\,1{,}66\,\cdot\,10^{-27}\mathrm{kg}}\,\dot=\,2{,}06\,\cdot\,10^{22}.\]Nebo lze k výpočtu počtu molekul N použít látkové množství n, které určíme pomocí molární hmotnosti Mm.
\[N\,=\,n N_\mathrm{A}\,=\,\frac{m N_A}{M_\mathrm{m}}\,=\,\frac{m N_\mathrm{A}}{A_\mathrm{r} \,\cdot\,10^{-3}\mathrm{kg\, mol}^{-1}},\] \[N\,=\,\frac{2 \,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}}{58{,}5 \,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{kg\, mol}^{-1}}\,\dot=\,2{,}06\,\cdot\,10^{22}.\]Počet molekul soli je stejný jako počet sodíkových iontů.
Celkový objem V vody v jezeře se rovná součinu obsahu jeho plochy S a průměrné hloubky h:
\[V\,=\,S h\,=\,10\,\cdot\,10^6 \,\mathrm{m}^{2}\,\cdot\,10 \,\mathrm{m}\,=\,10^8 \,\mathrm{m}^3.\]Za předpokladu rovnoměrného rozpuštění soli musí platit, že poměr počtu sodíkových iontů v celém jezeře a jeho objemu se bude rovnat poměru počtu iontů na lžičce vody a objemu lžičky. Jedná se vlastně o objemovou hustotu iontů, která musí být v jezeře i na lžičce stejná:
\[\frac{N}{V}\,=\,\frac{N_\mathrm{L}}{V_\mathrm{L}}.\]Odtud vyjádříme NL a za N a V dosadíme dříve odvozené obecné vztahy:
\[N_\mathrm{L}\,=\,\frac{N}{V}\,V_\mathrm{L}\,=\,\frac{\frac{m\,N_\mathrm{A}}{M_\mathrm{m}}}{Sh}\,V_\mathrm{L}\,=\,\frac{m\,N_\mathrm{A}}{M_\mathrm{m}Sh}\,V_\mathrm{L},\] \[N_\mathrm{L}\,=\,\frac{2\,\cdot\,10^{-3} \,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}}{58{,}5\,\cdot\,10^{-3}\,\cdot\,10^{7}\,\cdot\,10}\,\cdot\,5\,\cdot\,10^{-6}\,\dot=\,1\,\cdot\,10^{9}.\]Odpověď
V jedné lžičce vody nabrané z jezera by byla asi miliarda iontů sodíku. Vidíme, že i když nasypeme poměrně malé množství soli do velkého objemu vody, i na relativně malý objem jedné lžičky připadá stále obrovské množství částic.
