Korková loďka

Úloha číslo: 342

Na hladině vody plave korková lodička o hmotnosti 50 g, která má tvar podle obrázku. Do místa A kápneme malé množství mycího prostředku. Povrchové napětí směsi vody a mycího prostředku za loďkou má čtvrtinovou hodnotu v porovnání s čistou vodou.

a) Vysvětlete, co se stane s loďkou a proč.

obrázek k zadání úlohy

b) Jak velká síla působí na loďku a s jak velkým zrychlením by se loďka pohybovala, pokud bychom zanedbali odporovou sílu vody?

Uvažujte následující rozměry loďky:

a = 20 cm, b = 5 cm, α = 90° a β = 60°.

  • Nápověda

    Díky povrchovému napětí působí voda okraje loďky povrchovou silou. Tato síla míří vodorovně a kolmo na loďku. Její velikost je úměrná povrchovému napětí a délce okraje loďky.

    Nakreslete si síly, které působí na jednotlivé hrany loďky, a rozmyslete si, kam bude mířit jejich výslednice.

  • Zápis

    a = 20 cm, b = 5 cm, α = 90°, β = 60° rozměry loďky
    m = 50 g = 0,05 kg hmotnost loďky
    σm = σv vztah mezi povrch. napětím vody s mycím prostředkem a čisté vody
    Z tabulek:
    σv = 73 mN m-1 povrchové napětí čisté vody
  • Rozbor a řešení části a)

    Díky povrchovému napětí působí povrch kapaliny na svém okraji na nádobu nebo předmět, který z kapaliny vyčnívá, povrchovou silou. Tato síla je vždy kolmá k okraji hladiny. Můžeme si to také představit tak, že se kapalina snaží „zmenšit svůj povrch“. Působící síla je úměrná povrchovému napětí (konstantě charakterizující kapalinu) a délce, na které působí.

    Ve svislém směru na loďku působí tíhová síla a vztlaková síla. Protože loďka plave na hladině, jsou tyto dvě síly stejně velké a opačného směru. Ve vodorovném směru působí na loďku povrch vody (viz obrázek) povrchovými silami.

    Síly působící na loďku v čisté vodě

    Jestliže je kolem loďky ze všech stran voda, je výslednice všech těchto sil nulová a loďka je tedy v klidu. Detailně bude tento výsledek vidět při početním řešení úlohy.

    Kápneme-li za loďku mycí prostředek, zmenšíme povrchové napětí za loďkou, a tedy zmenšíme i síly, které působí na zadní část loďky. Díky tomu budou síly působící na předek loďky větší a uvedou loďku do pohybu směrem vpřed. Do obrázku si tedy zakreslíme síly, kterými povrch vody na loďku působí, určíme jejich výslednici a díky znalosti hmotnosti loďky můžeme spočítat i zrychlení, které by tato síla loďce udělila.

    Síly působící na loďku po kápnutí mycího prostředku
  • Řešení části b)

    Z obrázků uvedených v rozboru je patrné, že pro výpočet výsledné povrchové síly, která bude působit na loďku, jsou důležité povrchové síly působící na „šikmé části loďky“. Nakreslíme si je do detailního obrázku a vyznačíme známé síly.

    Síly působící na loďku

    Výslednici „modrých“ sil \(\vec{F}_1\) a \(\vec{F}_2\) působících na přední část loďky si označíme \(\vec{F}_{12}\). A podobně výslednici „červených“ \(\vec{F}_3\) a \(\vec{F}_4\) působících na zadní část loďky si označíme \(\vec{F}_{34}\).

    Našim úkolem je spočítat výslednici těchto sil, tj. velikost síly F:

    \[\vec{F}\,=\,\vec{F}_1\,+\vec{F}_2\,+\vec{F}_3\,+\,\vec{F}_4\,=\,\vec{F}_{12}\,+\,\vec{F}_{34}\]
    Síly působící na strany loďky

    Síly \(\vec{F}_1\) a \(\vec{F}_2\) působí na stranu loďky o délce:   \[\frac{\frac{b}{2}}{\cos \frac{\beta}{2}}\,.\] Pro jejich velikost tedy platí

    \[F_1\,=\,F_2\,=\, \sigma_v \, \frac{b}{ 2 \cos \frac{\beta}{2}}\] \[F_{12}\,=\, 2F_1 \,\cos \frac{\beta}{2} \,=\, 2\sigma_v \, \frac{b}{ 2 \cos \frac{\beta}{2}}\,\cos \frac{\beta}{2}\,=\, 2\sigma_v b\]

    Podobně vyjádříme velikosti sil \(\vec{F}_3\) a \(\vec{F}_4\) i jejich výslednice \(\vec{F}_{34}\) . Nesmíme ale zapomenout, že kromě jiného úhlu musíme také dosadit jiné povrchové napětí, protože za loďkou je mýdlový roztok.

    \[F_3\,=\,F_4\,=\, \sigma_m \, \frac{b}{ 2 \cos \frac{\alpha}{2}}\] \[F_{34}\,=\, 2F_3 \,\cos \frac{\alpha}{2} \,=\, 2\sigma_m \, \frac{b}{ 2 \cos \frac{\alpha}{2}}\,\cos \frac{\alpha}{2}\,=\, 2\sigma_m b\]

    Síly \(\vec{F}_{12}\) a \(\vec{F}_{34}\) působí v opačných směrech, proto je velikost jejich výslednice dána rozdílem jejich velikostí:

    \[F \,=\, F_{12}\,-\, F_{34}\, =\, \sigma_v b \,-\, \sigma_m b \,=\, (\sigma_v - \sigma_m ) b \]

    Z tohoto vztahu je také jasně patrné, že před kápnutím mycího prostředku (tedy ve chvíli, kdy povrchové napětí před i za loďkou je stejné) je výslednice působících sil nulová a loďka tedy zůstává v klidu.

    Dosaďme zadané hodnoty:

    \[F \,=\, (\sigma_v - \frac{1}{4}\sigma_v ) b\,=\, \frac{3}{4}\sigma_v b \,=\, \frac{3}{4}\,\cdot \, 0{,}073 \,\cdot\, 0{,}05 \, \mathrm{N}\] \[F \,\dot=\, 2{,}7\, \mathrm{mN}\]

    Velikost zrychlení, které by loďce udělila tato síla, určíme z 2. Newtonova zákona:

    \[a \,=\, \frac{F}{m}\,=\,\frac{3 \sigma_v b}{4m}\,=\,\frac{3\,\cdot\,0{,}073\,\cdot\,0{,}05}{4\,\cdot \,0{,}05}\, \mathrm{m\,s}^{-2}\] \[a \,\dot=\, 0{,}05\,\mathrm{m\,s}^{-2}\]
  • Odpověď

    Po kápnutí mycího prostředku za loďku bude na ní působit směrem dopředu síla o velikosti asi 2,7 mN a loďka se dá do pohybu. Pokud by nepůsobila odporová síla vody, udělila by tato síla loďce zrychlení 0,05 m s-2. Ve skutečnosti je ale odporová síla nezanedbatelná a zrychlení loďky by tedy byl výrazně menší.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze