Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Zmizelé reflexe chloridu draselného
Úloha číslo: 2281
Chlorid draselný (KCl) a bromid draselný (KBr) jsou krystaliké látky se stejnou strukturou jako chlorid sodný (NaCl). Reflexe od následujících rovin jsou pozorovány v jejich difraktogramech:
KBr | (111) | (200) | (220) | (311) | (222) | (400) | (331) |
KCl | (200) | (220) | (222) | (400) |
a) Proč v difraktogramu KCl chybí některé reflexe, které by měly být povoleny?
b) Bude v difraktogramu KCl pozorována reflexe od roviny (420)?
Nápověda č. 1
Intenzita píku pro danou reflexi (hkl) v difaktogramu je přímo úměrná druhé mocnině velikosti strukturního faktoru S(hkl):
I(hkl)∝|S(hkl)|2.Strukturní faktor S(hkl) lze spočítat ze vztahu
S(hkl)=∑jfje2πi(hxj+kyj+lzj),kde index j čísluje jednotlivé atomy, fj je atomový rozptylový faktor j-tého atomu, a xj,yj,zj jsou polohy j-tého atomu v buňce v jednotkách mřížového parametru.
Klíčem k vyřešení úlohy bude zapsat si nejprve strukturní faktory pro obě látky.
Nápověda č. 2
Vyhledejte v literatuře nebo na internetu atomové rozptylové faktory draslíku, bromu a chloru a porovnejte je.
Řešení: Výpočet strukturního faktoru KBr
Nejprve si vypočteme strukturní faktor KBr.
Budeme uvažovat, že atomy draslíku jsou umístěny v polohách
x1=y1=z1=0,x2=y2=12,z2=0,x3=z3=12,y3=0,x4=0,y4=z4=12.Příspěvek ke strukturnímu faktoru od atomů draslíku tedy bude mít tvar
SK(hkl)=fK(e2πi(h⋅0+k⋅0+l⋅0)+e2πi12(h⋅1+k⋅1+l⋅0)+e2πi12(h⋅1+k⋅0+l⋅1)+e2πi12(h⋅0+k⋅1+l⋅1)).Po úpravě
SK(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)).Stejně budeme postupovat při výpočtu strukturního faktoru atomů bromu, které se nacházejí v pozicích
x1=y1=y1=12,x2=y2=0,z2=12,x3=z3=0,y3=12,x4=12,y4=z4=0.Ke strukturnímu faktoru tedy přispívají členy
SBr(hkl)=fBr(e2πi12(h⋅1+k⋅1+l⋅1)+e2πi12(h⋅0+k⋅0+l⋅1)+e2πi12(h⋅0+k⋅1+l⋅0)+e2πi12(h⋅1+k⋅0+l⋅0)),neboli
SBr(hkl)=fBr(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).Výsledný strukturní faktor je dán součtem obou příspěvků:
SKBr(hkl)=SK(hkl)+SBr(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l))+fBr(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).Řešení: Výpočet strukturního faktoru KCl
Dále zapíšeme strukturní faktor KCl. Protože má stejnou mřížku jako KBr a pozice atomů Cl jsou stejné jako pozice atomů Br, stačí vzít výsledky odvozené v předchozí části a nahradit u atomových rozptylových faktorů index Br indexem Cl:
SKCl(hkl)=SK(hkl)+SCl(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l))+fCl(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).Atomové rozptylové faktory draslíku a bromu jsou různé, avšak atomové rozptylové faktory draslíku a chloru jsou podobné. Pokud tedy prohlásíme, že se tyto rozptylové faktory rovnají, můžeme strukturní faktor KCl přepsat do tvaru
SKCl(hkl)=f(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)+eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih),kde f=fK=fCl.
Řešení: Zmizení reflexí
Vezměme si nyní reflexe, které v difraktogramu KCl „zmizely“ a vypočtěme pro ně strukturní faktor ze vzorce odvozeného v předchozí části:
SKCl(hkl)=f(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)+eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).Jedna taková reflexe je (111). Pokud skutečně dosadíme do výše uvedeného vztahu h=1, k=1 a l=1, získáme: SKCl(111)=f(1+eπi(1+1)+eπi(1+1)+eπi(1+1)+eπi(1+1+1)+eπi⋅1+eπi⋅1+eπi⋅1)==f(1+e2πi+e2πi+e2πi+e3πi+eπi+eπi+eπi).Nyní využijeme vztahu
eαi=cosα+isinα.Sinus nabývá v hodnotách násobků π vždy nulové hodnoty, proto nás zajímají jen hodnoty funkce kosinus. Ta v těchto hodnotách nabývá hodnot ±1:
SKCl(111)=f(1+1+1+1−1−1−1−1)=0.Naproti tomu strukturní faktor KBr nám vyšel SKBr(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l))+fBr(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih),čili pro rovinu (111) vychází SKBr(111)=fK(1+eπi(1+1)+eπi(1+1)+eπi(1+1))+fBr(eπi(1+1+1)+eπi1+eπi1+eπi1)==fK(1+e2πi+e2πi+e2πi)+fBr(e3πi+eπi+eπi+eπi)==fK(1+1+1+1)+fBr(−1−1−1−1)=4fK−4fBr≠0,pokud fK≠fBr.
Řešení: Reflexe (420)
Zajímá nás, jestli se v difraktogramu KCl objeví reflexe (420). To můžeme zjistit, pokud pro tuto reflexi spočítáme strukturní faktor. Pokud bude nulový, daná reflexe se v difraktogramu neobjeví.
V předchozích částech jsme odvodili strukturní faktor KCl
SKCl(hkl)=f(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)+eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).Do něho dosadíme za h=4, k=2 a l=0:
SKCl(420)=f(1+eπi(4+2)+eπi(4+0)+eπi(2+0)+eπi(4+2+0)+eπi0+eπi2+eπi4)=f(1+e6πi+e4πi+e2πi+e6πi+1+e2πi+e4πi)=f(1+1+1+1+1+1+1+1)=8f.Pík příslušející reflexi od roviny (420) se tedy v difraktogramu objeví.
Strukturní faktor pro K, Br a Cl