Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Zmizelé reflexe chloridu draselného

Úloha číslo: 2281

Chlorid draselný (KCl) a bromid draselný (KBr) jsou krystaliké látky se stejnou strukturou jako chlorid sodný (NaCl). Reflexe od následujících rovin jsou pozorovány v jejich difraktogramech:

KBr (111) (200) (220) (311) (222) (400) (331)
KCl (200) (220) (222) (400)

a) Proč v difraktogramu KCl chybí některé reflexe, které by měly být povoleny?

b) Bude v difraktogramu KCl pozorována reflexe od roviny (420)?

  • Nápověda č. 1

    Intenzita píku pro danou reflexi (hkl) v difaktogramu je přímo úměrná druhé mocnině velikosti strukturního faktoru S(hkl):

    I(hkl)|S(hkl)|2.

    Strukturní faktor S(hkl) lze spočítat ze vztahu

    S(hkl)=jfje2πi(hxj+kyj+lzj),

    kde index j čísluje jednotlivé atomy, fj je atomový rozptylový faktor j-tého atomu, a xj,yj,zj jsou polohy j-tého atomu v buňce v jednotkách mřížového parametru.

    Klíčem k vyřešení úlohy bude zapsat si nejprve strukturní faktory pro obě látky.

  • Nápověda č. 2

    Vyhledejte v literatuře nebo na internetu atomové rozptylové faktory draslíku, bromu a chloru a porovnejte je.

  • Řešení: Výpočet strukturního faktoru KBr

    Nejprve si vypočteme strukturní faktor KBr.

    Budeme uvažovat, že atomy draslíku jsou umístěny v polohách

    x1=y1=z1=0,
    x2=y2=12,z2=0,
    x3=z3=12,y3=0,
    x4=0,y4=z4=12.

    Příspěvek ke strukturnímu faktoru od atomů draslíku tedy bude mít tvar

    SK(hkl)=fK(e2πi(h0+k0+l0)+e2πi12(h1+k1+l0)+e2πi12(h1+k0+l1)+e2πi12(h0+k1+l1)).

    Po úpravě

    SK(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)).

    Stejně budeme postupovat při výpočtu strukturního faktoru atomů bromu, které se nacházejí v pozicích

    x1=y1=y1=12,
    x2=y2=0,z2=12,
    x3=z3=0,y3=12,
    x4=12,y4=z4=0.

    Ke strukturnímu faktoru tedy přispívají členy

    SBr(hkl)=fBr(e2πi12(h1+k1+l1)+e2πi12(h0+k0+l1)+e2πi12(h0+k1+l0)+e2πi12(h1+k0+l0)),

    neboli

    SBr(hkl)=fBr(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).

    Výsledný strukturní faktor je dán součtem obou příspěvků:

    SKBr(hkl)=SK(hkl)+SBr(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l))+fBr(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).
  • Řešení: Výpočet strukturního faktoru KCl

    Dále zapíšeme strukturní faktor KCl. Protože má stejnou mřížku jako KBr a pozice atomů Cl jsou stejné jako pozice atomů Br, stačí vzít výsledky odvozené v předchozí části a nahradit u atomových rozptylových faktorů index Br indexem Cl:

    SKCl(hkl)=SK(hkl)+SCl(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l))+fCl(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).

    Atomové rozptylové faktory draslíku a bromu jsou různé, avšak atomové rozptylové faktory draslíku a chloru jsou podobné. Pokud tedy prohlásíme, že se tyto rozptylové faktory rovnají, můžeme strukturní faktor KCl přepsat do tvaru

    SKCl(hkl)=f(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)+eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih),

    kde f=fK=fCl.

  • Řešení: Zmizení reflexí

    Vezměme si nyní reflexe, které v difraktogramu KCl „zmizely“ a vypočtěme pro ně strukturní faktor ze vzorce odvozeného v předchozí části:

    SKCl(hkl)=f(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)+eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).
    Jedna taková reflexe je (111). Pokud skutečně dosadíme do výše uvedeného vztahu h=1, k=1 a l=1, získáme: SKCl(111)=f(1+eπi(1+1)+eπi(1+1)+eπi(1+1)+eπi(1+1+1)+eπi1+eπi1+eπi1)==f(1+e2πi+e2πi+e2πi+e3πi+eπi+eπi+eπi).

    Nyní využijeme vztahu

    eαi=cosα+isinα.

    Sinus nabývá v hodnotách násobků π vždy nulové hodnoty, proto nás zajímají jen hodnoty funkce kosinus. Ta v těchto hodnotách nabývá hodnot ±1:

    SKCl(111)=f(1+1+1+11111)=0.
    Naproti tomu strukturní faktor KBr nám vyšel SKBr(hkl)=fK(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l))+fBr(eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih),
    čili pro rovinu (111) vychází SKBr(111)=fK(1+eπi(1+1)+eπi(1+1)+eπi(1+1))+fBr(eπi(1+1+1)+eπi1+eπi1+eπi1)==fK(1+e2πi+e2πi+e2πi)+fBr(e3πi+eπi+eπi+eπi)==fK(1+1+1+1)+fBr(1111)=4fK4fBr0,

    pokud fKfBr.

  • Řešení: Reflexe (420)

    Zajímá nás, jestli se v difraktogramu KCl objeví reflexe (420). To můžeme zjistit, pokud pro tuto reflexi spočítáme strukturní faktor. Pokud bude nulový, daná reflexe se v difraktogramu neobjeví.

    V předchozích částech jsme odvodili strukturní faktor KCl

    SKCl(hkl)=f(1+eπi(h+k)+eπi(h+l)+eπi(k+l)+eπi(h+k+l)+eπil+eπik+eπih).

    Do něho dosadíme za h=4, k=2 a l=0:

    SKCl(420)=f(1+eπi(4+2)+eπi(4+0)+eπi(2+0)+eπi(4+2+0)+eπi0+eπi2+eπi4)=f(1+e6πi+e4πi+e2πi+e6πi+1+e2πi+e4πi)=f(1+1+1+1+1+1+1+1)=8f.

    Pík příslušející reflexi od roviny (420) se tedy v difraktogramu objeví.

  • Strukturní faktor pro K, Br a Cl

    Závislost atomového rozptylového faktoru pro K, Br a Cl na rozptylovém vektoru Δk je vykreslena v grafu na následujícím obrázku. Je v něm vidět, že skutečně atomové rozptylové faktory K a Cl si jsou podobné.

    Závislost atomového rozptylového faktoru pro K, Br a Cl na rozptylovém vektoru.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: H. P. Myers: Introductory Solild State Physics, CRC Press, 1997
×Původní zdroj: H. P. Myers: Introductory Solild State Physics, CRC Press, 1997
Zaslat komentář k úloze