Led a dvě různě teplé vody

Úloha číslo: 322

Do vody o teplotě 70 °C a hmotnosti 1 kg vhodíme kostku ledu o teplotě −10 °C a hmotnosti 2 kg. Do soustavy vzápětí přilijeme další vodu o teplotě 40 °C a hmotnosti 1 kg.

Celý děj probíhá za normálního atmosférického tlaku.

Stanovte, v jakém stavu se bude soustava nacházet po dosažení termodynamické rovnováhy.

  • Nápověda

    Co se bude dít s teplotou a teplem, pokud do teplé vody ponoříme studené těleso?

  • Rozbor

    Protože na začátku děje má voda větší teplotu než led, bude mu předávat teplo. Platí totiž, že teplo přechází z teplejšího tělesa na chladnější. Teplo dodané ledu se spotřebuje nejprve na jeho ohřátí na teplotu tání, potom na samotné tání a případně (pokud teplá voda předá hodně tepla) i na ohřátí vzniklé vody na výslednou teplotu.

    Výsledný stav systému bude záviset na tom, kolik tepla mu voda dodá. Pokud dodané teplo bude větší než teplo potřebné na roztátí veškerého ledu, potom výsledným stavem bude voda o teplotě vyšší než 0 °C. Dodané teplo se totiž spotřebuje na roztátí ledu a zbytek na ohřátí vzniklé vody.

    Dále se dodané teplo může rovnat přesně teplu potřebnému na roztátí ledu, pak vznikne voda o teplotě 0 °C.

    Další možností je, že dodané teplo nebude stačit na úplné roztátí ledu. V tomto případě vznikne směs vody a ledu o teplotě 0 °C. Množství ledu, které roztaje závisí na rozdílu tepla dodaného a spotřebovaného na ohřátí ledu na teplotu tání.

    Poslední možností je, že teplo dodané vodou při ochlazení nebude stačit ani k ohřátí ledu na teplotu tání. Potom část vody zmrzne a výsledkem bude opět směs vody a ledu při teplotě 0 °C, nebo zmrzne veškerá voda a výsledným stavem bude pouze led.

    Při řešení úlohy je tedy třeba postupně porovnávat hodnoty jednotlivých tepel a rozhodnout, který z případů nastane.

  • Zápis

    m1 = 1 kg hmotnost vody na začátku
    t1 = 70 °C teplota vody na začátku
    m2 = 2 kg hmotnost přidaného ledu
    t2 = −10 °C teplota přidaného ledu
    m3 = 1 kg hmotnost nově přilité vody
    t3 = 40 °C teplota nově přilité vody
    tt = 0 °C teplota tání ledu
    mr = ? hmotnost ledu, který roztaje

    Z tabulek:

    cv = 4180 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita vody
    cl = 2100 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita ledu
    lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tání pro přechod led – voda
  • Řešení

    Nejdůležitější je zjistit, zda voda je dostatečně teplá (a je jí dostatečné množství) na to, aby dokázala dodat teplo potřebné pro roztátí ledu. Za tímto účelem si spočteme součet tepel Q1od a Q2od, které obě různě zahřáté vody odevzdají při ochlazení na teplotu tání ledu tt = 0 °C.

    Tato tepla budou:

    Q1od = m1cv(t1tt),

    Q2od = m3cv(t3tt),

    Q1od + Q2od = m1cv(t1tt) + m3cv(t3tt),

    Q1od + Q2od = [1 · 4180 · (70 − 0) + 1 · 4180 · (40 − 0)] J

    = 459,8·103 J = 459,8 kJ .

    Nyní určíme množství tepla, které by bylo nutné dodat ledu, aby všechen roztál. Musíme si uvědomit, že jde o součet tepla Q1d potřebného k ohřátí 2 kilogramů ledu na teplotu tání a tepla Q2d potřebného k tomu, aby tento led roztál.

    Bude platit:

    Q1d = m2cl(ttt2),

    Q2d = ltm2,

    Q1d + Q2d = m2cl(ttt2) + ltm2,

    Q1d + Q2d = [2 · 2100 · (0 − (−10)) + 334·103 · 2] J =

    = (42·103 + 668·103 ) J = 710 kJ.

    Vidíme, že teplo dodané vodou při ochlazení na teplotu tání sice plně postačuje na to, aby se led ohřál na teplotu tání, ale nestačí na to, aby se kostka ledu následně celá roztála. Výsledný stav soustavy tedy bude takový, že se voda ochladí na 0 °C, led se na 0 °C zahřeje a určitá část o hmotnosti mr jej roztaje. To, o jakou část půjde stanovíme následující úvahou:

    Teplo dodané při ochlazení vody je Q1od + Q2od. Od něho musíme odečíst teplo Q1d potřebné na zahřátí ledu na teplotu tání. Zbytek se pak využije právě na tání ledu.

    Bude platit:

    mrlt = Q1od + Q2odQ1d .

    Z poslední rovnice vyjádříme mr:

    \[m_{r} = \frac{Q_{1od} + Q_{2od} - Q_{1d}}{l_{t}}\,.\]
  • Číselné dosazení

    \[m_{r} = \frac{Q_{1od} + Q_{2od} - Q_{1d}}{l_{t} }\] \[m_{r} =\frac{459{,}8\cdot{10^{3}} - 2\cdot{ 2100}\cdot \left( 0-\left( -10\right)\right)}{334\cdot {10^{3}}}\, \mathrm{kg}\dot{=} 1{,}25\, \mathrm{kg}\]
  • Odpověď

    V termodynamické rovnováze bude tedy soustava složená z vody a ledu na teplotě tání tt = 0 °C, přičemž ze 2 kilogramů ledu roztaje část o hmotnosti mr = 1,25 kg.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze