Sbírka řešených úloh

Led a dvě různě teplé vody

Úloha číslo: 322

• Nápověda

  Co se bude dít s teplotou a teplem, pokud do teplé vody ponoříme studené těleso?

• Rozbor

  Protože na začátku děje má voda větší teplotu než led, bude mu předávat teplo. Platí totiž, že teplo přechází z teplejšího tělesa na chladnější. Teplo dodané ledu se spotřebuje nejprve na jeho ohřátí na teplotu tání, potom na samotné tání a případně (pokud teplá voda předá hodně tepla) i na ohřátí vzniklé vody na výslednou teplotu.

  Výsledný stav systému bude záviset na tom, kolik tepla mu voda dodá. Pokud dodané teplo bude větší než teplo potřebné na roztátí veškerého ledu, potom výsledným stavem bude voda o teplotě vyšší než 0 °C. Dodané teplo se totiž spotřebuje na roztátí ledu a zbytek na ohřátí vzniklé vody.

  Dále se dodané teplo může rovnat přesně teplu potřebnému na roztátí ledu, pak vznikne voda o teplotě 0 °C.

  Další možností je, že dodané teplo nebude stačit na úplné roztátí ledu. V tomto případě vznikne směs vody a ledu o teplotě 0 °C. Množství ledu, které roztaje, závisí na rozdílu tepla dodaného a spotřebovaného na ohřátí ledu na teplotu tání.

  Poslední možností je, že teplo dodané vodou při ochlazení nebude stačit ani k ohřátí ledu na teplotu tání. Potom část vody zmrzne a výsledkem bude opět směs vody a ledu při teplotě 0 °C. Případně zmrzne veškerá voda a výsledným stavem bude pouze led.

  Při řešení úlohy je tedy třeba postupně porovnávat hodnoty jednotlivých tepel a rozhodnout, který z případů nastane.

• Zápis

  m1 = 1 kg	hmotnost vody na začátku
  t1 = 70 °C	teplota vody na začátku
  m2 = 2 kg	hmotnost přidaného ledu
  t2 = −10 °C	teplota přidaného ledu
  m3 = 1 kg	hmotnost nově přilité vody
  t3 = 40 °C	teplota nově přilité vody
  tt = 0 °C	teplota tání ledu
  mr = ?	hmotnost ledu, který roztaje

  Z tabulek:

  cv = 4180 J kg−1 K−1	měrná tepelná kapacita vody
  cl = 2100 J kg−1 K−1	měrná tepelná kapacita ledu
  lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1	měrné skupenské teplo tání pro přechod led – voda

• Řešení

  Nejdůležitější je zjistit, zda voda je dostatečně teplá (a je jí dostatečné množství) na to, aby dokázala dodat teplo potřebné pro roztátí ledu. Za tímto účelem si spočteme součet tepel Q_1od a Q_2od, které obě různě zahřáté vody odevzdají při ochlazení na teplotu tání ledu t_t = 0 °C.

  Tato tepla budou:

  Q_1od = m₁c_v(t₁ − t_t),

  Q_2od = m₃c_v(t₃ − t_t),

  Q_1od + Q_2od = m₁c_v(t₁ − t_t) + m₃c_v(t₃ − t_t),

  Q_1od + Q_2od = [1 · 4180 · (70 − 0) + 1 · 4180 · (40 − 0)] J

  = 459,8·10³ J = 459,8 kJ .

  Nyní určíme množství tepla, které by bylo nutné dodat ledu, aby všechen roztál. Musíme si uvědomit, že jde o součet tepla Q_1d potřebného k ohřátí 2 kilogramů ledu na teplotu tání a tepla Q_2d potřebného k tomu, aby tento led roztál.

  Bude platit:

  Q_1d = m₂c_l(t_t − t₂),

  Q_2d = l_tm₂,

  Q_1d + Q_2d = m₂c_l(t_t − t₂) + l_tm₂,

  Q_1d + Q_2d = [2 · 2100 · (0 − (−10)) + 334·10³ · 2] J =

  = (42·10³ + 668·10³ ) J = 710 kJ.

  Vidíme, že teplo dodané vodou při ochlazení na teplotu tání, sice plně postačuje na to, aby se led ohřál na teplotu tání, ale nestačí na to, aby kostka ledu následně celá roztála. Výsledný stav soustavy tedy bude takový, že se voda ochladí na 0 °C, led se na 0 °C zahřeje a určitá část o hmotnosti m_r jej roztaje. To, o jakou část půjde, stanovíme následující úvahou:

  Teplo dodané při ochlazení vody je Q_1od + Q_2od. Od něho musíme odečíst teplo Q_1d potřebné na zahřátí ledu na teplotu tání. Zbytek se pak využije právě na tání ledu.

  Bude platit:

  m_rl_t = Q_1od + Q_2od − Q_1d .

  Z poslední rovnice vyjádříme m_r:

  \[m_\mathrm{r} = \frac{Q_\mathrm{1od} + Q_\mathrm{2od} - Q_\mathrm{1d}}{l_\mathrm{t}}\,.\]

• Číselné dosazení

  \[m_\mathrm{r} = \frac{Q_\mathrm{1od} + Q_\mathrm{2od} - Q_\mathrm{1d}}{l_\mathrm{t} }\] \[m_\mathrm{r} =\frac{459{,}8\cdot{10^{3}} - 2\cdot{ 2100}\cdot \left( 0-\left( -10\right)\right)}{334\cdot {10^{3}}}\, \mathrm{kg}\dot{=} 1{,}25\, \mathrm{kg}\]

• Odpověď

  V termodynamické rovnováze bude tedy soustava složená z vody a ledu na teplotě tání t_t = 0 °C, přičemž ze 2 kilogramů ledu roztaje část o hmotnosti m_r = 1,25 kg.