Počet atomů Cu v měděné krychličce
Úloha číslo: 1731
Vypočtěte počet atomů Cu v měděné krychličce o hraně 1,0 cm (při teplotě 20 °C.).
Zápis
a = 1 cm = 10−2 m délka hrany měděné krychličky N = ? počet atomů Cu v krychličce
Z tabulek:
ρCu = 8930 kg m−3 hustota mědi Ar(Cu) = 64,546 relativní atomová hmotnost mědi NA = 6,023·1023 mol−1 Avogadrova konstanta Rozbor
Ze zadání víme, že krychlička je z mědi a známe její rozměr. V tabulkách najdeme hustotu mědi a pak už snadno určíme hmotnost krychličky tak, že vynásobíme její objem hustotou mědi.
První způsob řešení - výpočet přes hmotnost 1 atomu
Dále můžeme v tabulkách najít relativní atomovou hmotnost mědi Ar a vypočítat hmotnost jednoho atomu mědi. Počet atomů v krychličce vypočteme vydělením její hmotnosti hmotností jednoho atomu.
Pozn.: Relativní atomová hmotnost je určena vydělením hmotnosti atomu ma atomovou hmotnostní konstantou mu.
Druhý způsob řešení - výpočet přes látkové množství
Jinou možností je určit látkové množství mědi n pomocí známé hmotnosti krychličky a hmotnosti jednoho molu mědi. S využitím znalosti, že počet částic látky v jednom molu udává Avogadrova konstanta NA, pak počet atomů v krychličce určíme vynásobením látkového množství mědi (neboli počtu molů) Avogadrovou konstantou.
Nápověda 1
Najděte v tabulkách hustotu mědi a vypočítejte hmotnost krychličky.
Nápověda 2 - výpočet přes hmotnost 1 atomu
Najděte v tabulkách relativní atomovou hmotnost mědi Ar a pomocí atomové hmotnostní konstanty mu vyjádřete hmotnost jednoho atomu mědi. Ze známé celkové hmotnosti měděné krychličky a hmotnosti jednoho atomu mědi pak vypočtěte počet atomů, které krychlička obsahuje.
Řešení nápovědy 2 - výpočet přes hmotnost 1 atomu
Nejdříve v tabulkách najdeme relativní atomovu hmotnost mědi: Ar(Cu) = 64,546
Chceme-li vypočítat hmotnost atomu, využijeme vztah
\[A_\mathrm{r} = \frac{m_\mathrm{a}}{m_\mathrm{u}},\tag{2}\]kde ma je klidová hmotnost atomu a mu je atomová hmotnostní konstanta.
Atomovu hmotnostní konstantu najdeme v tabulkách: mu = 1,661·10−27 kg.
Z rovnice (2) vyjádříme hmotnost jednoho atomu mědi ma
\[m_\mathrm{a} = A_\mathrm{r}m_\mathrm{u}.\]Poté určíme počet atomů v krychličce vydělením hmotnosti krychličky hmotností 1 atomu
\[N = \frac{m}{m_\mathrm{a}}\tag{3}\]Nyní můžeme dosadit do vztahu (3)
\[N = \frac{m}{m_\mathrm{a}} = \frac{m}{A_{\mathrm{r}}m_{\mathrm{u}}}\] \[N = \frac{8{,}93·10^{−3}}{64{,}546·1{,}661·10^{−27}}\] \[N = 8{,}3·10^{22}.\]Nápověda 3 - výpočet přes látkové množství
Nejprve najděte v tabulkách relativní atomovou hmotnost mědi. S její pomocí vyjádřete hmotnost jednoho molu mědi. Ze známe hmotnosti krychličky a hmotnosti jednoho molu mědi určete látkové množství mědi v krychličce. Uvědomte si, kolik částic je v jednom molu (která konstanta ho udává) a dopočítejte počet atomů v krychličce.
Řešení nápovědy 3 - výpočet přes látkové množství
Opět při výpočtu využijeme relativní atomovou hmotnost mědi: Ar(Cu) = 64,546
Nyní si vyjádříme hmotnost jednoho molu mědi. Hmotnost 1 molu udává molární hmotnost, pro kterou platí vztah (odvození vztahu je v úloze Vztah mezi relativní molekulovou a molární hmotností)
\[M_\mathrm{m} = A_\mathrm{r}·10^{−3}\mathrm{kg mol^{−1}},\tag{4}\]pro molární hmotnost mědi tedy platí
\[M_\mathrm{m}(\mathrm{Cu}) = A_\mathrm{r}(\mathrm{Cu})·10^{−3}\mathrm{kg mol^{−1}}.\]Nyní, když známe hmotnost krychličky m a hmotnost jednoho molu mědi Mm, můžeme vypočítat počet molů Cu v krychličce. Počet molů udává látkové množství n a platí pro něj vztah
\[n = \frac{m}{M_\mathrm{m}}.\tag{5}\]Známe-li počet molů Cu v krychličce, snadno už vypočteme počet atomů N v krychličce. Stačí nám jen vědět, že Avogadrova konstanta NA udává počet částic látky v jednom molu.
Avogadrovu konstantu najdeme v tabulkách: NA = 6,023·1023 mol−1.
Počet atomů v krychličce N získáme vynásobením látkového množství n Avogadrovou konstantou NA
\[N = n·N_\mathrm{A}.\tag{6}\]Do vztahu (6) dosadíme ze vztahů (5) a (4)
\[N = n·N_\mathrm{A} = \frac{m}{M_\mathrm{m}}·N_\mathrm{A} = \frac{m}{A_{\mathrm{r}}·10^{−3}}·N_\mathrm{A}\tag{7}\]a dále už jen dosadíme známé hodnoty
\[N = \frac{8{,}93·10^{−3}}{64{,}546·10^{−3}}·6{,}023·10^{23}\] \[N \dot{=}\, 8{,}3·10^{22}.\]N je bezrozměrná veličina. O tom se můžeme přesvědčit, dosadíme-li do vztahu (7) jednotky veličin
\[[N] = \frac{kg}{kg·mol^{−1}}·mol^{−1} = 1.\]Odpověď
V měděné krychličce o hraně 1 cm je přibližně 8,3·1022 atomů Cu.
