Počet atomů Cu v měděné krychličce

Úloha číslo: 1731

Vypočtěte počet atomů Cu v měděné krychličce o hraně 1,0 cm (při teplotě 20 °C.).

  • Zápis

    a = 1 cm = 10−2 m délka hrany měděné krychličky
    N = ? počet atomů Cu v krychličce

    Z tabulek:

    ρCu = 8930 kg m−3 hustota mědi
    Ar(Cu) = 64,546 relativní atomová hmotnost mědi
    NA = 6,023·1023 mol−1 Avogadrova konstanta
  • Rozbor

    Ze zadání víme, že krychlička je z mědi a známe její rozměr. V tabulkách najdeme hustotu mědi a pak už snadno určíme hmotnost krychličky tak, že vynásobíme její objem hustotou mědi.

    První způsob řešení - výpočet přes hmotnost 1 atomu

    Dále můžeme v tabulkách najít relativní atomovou hmotnost mědi Ar a vypočítat hmotnost jednoho atomu mědi. Počet atomů v krychličce vypočteme vydělením její hmotnosti hmotností jednoho atomu.

    Pozn.: Relativní atomová hmotnost je určena vydělením hmotnosti atomu ma atomovou hmotnostní konstantou mu.

    Druhý způsob řešení - výpočet přes látkové množství

    Jinou možností je určit látkové množství mědi n pomocí známé hmotnosti krychličky a hmotnosti jednoho molu mědi. S využitím znalosti, že počet částic látky v jednom molu udává Avogadrova konstanta NA, pak počet atomů v krychličce určíme vynásobením látkového množství mědi (neboli počtu molů) Avogadrovou konstantou.

  • Nápověda 1

    Najděte v tabulkách hustotu mědi a vypočítejte hmotnost krychličky.

  • Nápověda 2 - výpočet přes hmotnost 1 atomu

    Najděte v tabulkách relativní atomovou hmotnost mědi Ar a pomocí atomové hmotnostní konstanty mu vyjádřete hmotnost jednoho atomu mědi. Ze známé celkové hmotnosti měděné krychličky a hmotnosti jednoho atomu mědi pak vypočtěte počet atomů, které krychlička obsahuje.

  • Řešení nápovědy 2 - výpočet přes hmotnost 1 atomu

    Nejdříve v tabulkách najdeme relativní atomovu hmotnost mědi: Ar(Cu) = 64,546

    Chceme-li vypočítat hmotnost atomu, využijeme vztah

    \[A_\mathrm{r} = \frac{m_\mathrm{a}}{m_\mathrm{u}},\tag{2}\]

    kde ma je klidová hmotnost atomu a mu je atomová hmotnostní konstanta.

    Atomovu hmotnostní konstantu najdeme v tabulkách: mu = 1,661·10−27 kg.

    Z rovnice (2) vyjádříme hmotnost jednoho atomu mědi ma

    \[m_\mathrm{a} = A_\mathrm{r}m_\mathrm{u}.\]

    Poté určíme počet atomů v krychličce vydělením hmotnosti krychličky hmotností 1 atomu

    \[N = \frac{m}{m_\mathrm{a}}\tag{3}\]

    Nyní můžeme dosadit do vztahu (3)

    \[N = \frac{m}{m_\mathrm{a}} = \frac{m}{A_{\mathrm{r}}m_{\mathrm{u}}}\] \[N = \frac{8{,}93·10^{−3}}{64{,}546·1{,}661·10^{−27}}\] \[N = 8{,}3·10^{22}.\]
  • Nápověda 3 - výpočet přes látkové množství

    Nejprve najděte v tabulkách relativní atomovou hmotnost mědi. S její pomocí vyjádřete hmotnost jednoho molu mědi. Ze známe hmotnosti krychličky a hmotnosti jednoho molu mědi určete látkové množství mědi v krychličce. Uvědomte si, kolik částic je v jednom molu (která konstanta ho udává) a dopočítejte počet atomů v krychličce.

  • Řešení nápovědy 3 - výpočet přes látkové množství

    Opět při výpočtu využijeme relativní atomovou hmotnost mědi: Ar(Cu) = 64,546

    Nyní si vyjádříme hmotnost jednoho molu mědi. Hmotnost 1 molu udává molární hmotnost, pro kterou platí vztah (odvození vztahu je v úloze Vztah mezi relativní molekulovou a molární hmotností)

    \[M_\mathrm{m} = A_\mathrm{r}·10^{−3}\mathrm{kg mol^{−1}},\tag{4}\]

    pro molární hmotnost mědi tedy platí

    \[M_\mathrm{m}(\mathrm{Cu}) = A_\mathrm{r}(\mathrm{Cu})·10^{−3}\mathrm{kg mol^{−1}}.\]

    Nyní, když známe hmotnost krychličky m a hmotnost jednoho molu mědi Mm, můžeme vypočítat počet molů Cu v krychličce. Počet molů udává látkové množství n a platí pro něj vztah

    \[n = \frac{m}{M_\mathrm{m}}.\tag{5}\]

    Známe-li počet molů Cu v krychličce, snadno už vypočteme počet atomů N v krychličce. Stačí nám jen vědět, že Avogadrova konstanta NA udává počet částic látky v jednom molu.

    Avogadrovu konstantu najdeme v tabulkách: NA = 6,023·1023 mol−1.

    Počet atomů v krychličce N získáme vynásobením látkového množství n Avogadrovou konstantou NA

    \[N = n·N_\mathrm{A}.\tag{6}\]

    Do vztahu (6) dosadíme ze vztahů (5) a (4)

    \[N = n·N_\mathrm{A} = \frac{m}{M_\mathrm{m}}·N_\mathrm{A} = \frac{m}{A_{\mathrm{r}}·10^{−3}}·N_\mathrm{A}\tag{7}\]

    a dále už jen dosadíme známé hodnoty

    \[N = \frac{8{,}93·10^{−3}}{64{,}546·10^{−3}}·6{,}023·10^{23}\] \[N \dot{=}\, 8{,}3·10^{22}.\]

    N je bezrozměrná veličina. O tom se můžeme přesvědčit, dosadíme-li do vztahu (7) jednotky veličin

    \[[N] = \frac{kg}{kg·mol^{−1}}·mol^{−1} = 1.\]
  • Odpověď

    V měděné krychličce o hraně 1 cm je přibližně 8,3·1022 atomů Cu.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Inspirováno seminářem prof. E. Svobody.
×Původní zdroj: Inspirováno seminářem prof. E. Svobody.
Zaslat komentář k úloze