Kapilára v rozjíždějícím se výtahu

Úloha číslo: 2032

Ve svislé skleněné kapiláře vystoupila voda do výšky h = 125 mm. Jak se změní výška sloupce vody v kapiláře, bude-li umístěna v těžní kleci důlního výtahu, která se rozjíždí směrem dolů se zrychlením a = 6 m·s−2?

  • Rozbor

    Nejdříve se zamyslíme nad situací, kdy výtah ještě stojí a kapilára s vodou je v klidu. Výslednice sil, které na vodu působí, je nulová. Tíhová síla působící na vodu v kapiláře je rovna výslednici povrchových sil, které na vodu působí u zakřiveného povrchu. (Kdyby se výtah pohyboval rovnoměrně přímočaře, byla by výslednice sil také nulová.)

    Situaci, kdy výtah začne klesat s daným zrychlením, popíšeme nejdříve z pohledu pozorovatele, který zůstal stát mimo výtah (tedy z pohledu inerciální vztažné soustavy). Z jeho pohledu se kapilára s vodou pohybuje rovnoměrně zrychleně dolů. Výslednice sil působících na vodu směřuje dolů. Na vodu působí opět tíhová síla a výslednice povrchových sil.

    Povrchová síla závisí na poloměru kapiláry a povrchovém napětí vody - ty zůstávají stejné, takže zůstane stejná i velikost povrchové síly. Voda v kapiláře bude muset vystoupat výše, aby vzrostla tíhová síla působící na vodu.

    Na situaci se také můžeme podívat z pohledu pozorovatele, který je ve výtahu (z pohledu neinerciální vztažné soustavy). Vzhledem k němu jsou kapilára i voda v ní v klidu. Výslednice sil působících na vodu je tedy z jeho pohledu nulová. Kromě tíhové síly a výslednice povrchových sil působí na vodu ještě setrvačná síla mířící vzhůru.

  • Nápověda část 1 - kapilára v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu

    Rozmyslete si, jaké síly působí na vodu v kapiláře a jaká je jejich výslednice, jestliže výtah stojí nebo se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem. Napište pak vztahy pro velikosti těchto sil a vyjádřete z nich výšku, do které vystoupí hladina vody v kapiláře v této situaci.

  • Řešení část 1 - kapilára v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu

    Na vodu působí tíhová síla Fg a výslednice povrchových sil Fk. Kapilára s vodou je v klidu, výslednice sil působících na vodu musí být nulová.

    Obr. 1: Voda v kapiláře, která je v klidu

    Platí tedy

    \[F_\mathrm{g} = F_\mathrm{k}.\tag{1}\]

    Tíhovou sílu můžeme vyjádřit jako součin hmotnosti m a tíhového zrychlení g

    \[F_\mathrm{g} = mg.\tag{2}\]

    Síla Fk je daná součinem kapilárního tlaku pk a obsahu plochy vnitřního průřezu kapiláry S

    \[F_\mathrm{k} = p_\mathrm{k}S.\tag{3}\]

    Dosadíme-li do vztahu (1) rovnice (2) a (3), získáme rovnost

    \[mg = p_\mathrm{k}S.\tag{4}\]

    Chceme zjistit výšku hladiny vody v kapiláře h1. Hmotnost vody m můžeme vyjádřit jako součin hustoty ρ a objemu V vody. Objem lze ještě vyjádřit jako součin výšky sloupce vody h1 s plochou S

    \[m = ρ·V = ρ·h_\mathrm{1}S.\tag{5}\]

    Dosazením (5) do (4) pak získáme rovnost

    \[ρh_\mathrm{1}Sg = p_\mathrm{k}S.\tag{6}\]

    Rovnici (6) upravíme a vyjádříme výšku hladiny vody h1 v kapiláře, která je v klidu

    \[h_\mathrm{1} = \frac{p_\mathrm{k}}{ρg}.\tag{7}\]

    Kapilární tlak vypočítáme jako

    \[p_\mathrm{k} = \frac{2σ}{r},\tag{8}\]

    kde σ je povrchové napětí vody a r poloměr kapiláry.

    Do vztahu (7) dosadíme za kapilární tlak ze vztahu (8)

    \[h_\mathrm{1} = \frac{2σ}{rρg}.\tag{9}\]
  • Nápověda část 2 - kapilára v rozjíždějícím se výtahu z pohledu inerciálního pozorovatele

    Jaké síly působí na vodu v kapiláře, která je umístěná ve výtahu rozjíždějícím se směrem dolů se zrychlením a? Kam směřuje jejich výslednice a jaká bude velikost sil ve srovnání s předchozí situací, kdy byl výtah v klidu? Jak se změní výška hladiny vody v kapiláře?

    Situaci řešte nejprve z pohledu pozorovatele, který stojí v klidu mimo výtah (inerciální pozorovatel).

  • Řešení část 2 - kapilára v rozjíždějícím se výtahu z pohledu inerciálního pozorovatele

    Pozorovatel stojí v klidu mimo výtah - inerciální pozorovatel

    Z pohledu inerciálního pozorovatele působí na vodu v kapiláře směrem dolů tíhová síla Fg a v opačném směru výslednice povrchových sil Fk.

    Výtah i kapilára s vodou se pohybují se zrychlením směrem dolů. Na vodu tedy působí nenulová výsledná síla F směřující dolů:

    \[F = ma,\tag{10}\]

    kde a je zrychlení, se kterým se pohybují výtah i voda v kapiláře.

    Výslednice povrchových sil, která závisí na povrchovém napětí vody a poloměru kapiláry, bude mít stejnou velikost jako v situaci, kdy je výtah v klidu. Musí tedy vzrůst tíhová síla působící na vodu v kapiláře, voda v ní tedy vystoupá výš.

    Obr. 2: Voda v kapiláře pohybující se zrychleně - inerciální soustava

    Pro velikosti sil platí

    \[F_\mathrm{g}−F_\mathrm{k} = F.\tag{11}\]

    Do rovnice (11) dosadíme ze vztahů (2), (3) a (10) a získáme tak rovnici

    \[mg−p_\mathrm{k}S = ma\] \[m(g−a) = p_\mathrm{k}S\tag{12}\]

    Výšku hladiny vody h2 v kapiláře zjistíme po několika úpravách vztahu (12). Nejdříve vyjádříme hmotnost vody m jako součin hustoty a objemu vody v kapiláře

    \[m = ρ·V = ρ·h_\mathrm{2}S.\]

    a tento vztah pro hmotnost dosadíme do vztahu (12). Získáme tak rovnici

    \[ρh_\mathrm{2}S(g−a) = p_\mathrm{k}S.\tag{13}\]

    Vztah (13) upravíme, dosadíme za kapilární tlak ze vztahu (8) a následně vyjádříme výšku hladiny h2 kapaliny v rozjíždějícím se výtahu

    \[ρh_\mathrm{2}(g−a) = \frac{2σ}{r}\] \[h_\mathrm{2} = \frac{2σ}{rρ(g−a)}.\tag{14}\]

    Změnu výšky sloupce vody Δh vypočítáme jako rozdíl výšky hladiny vody v rozjíždějícím se výtahu h2 a výšky hladiny vody v klidu h1 (rozdíl vztahů (14) a (9))

    \[Δh = h_\mathrm{2}−h_\mathrm{1} = \frac{2σ}{rρ(g−a)}−\frac{2σ}{rρg}.\]

    Tuto rovnici upravíme

    \[Δh = \frac{2σa}{rρg(g−a)} \tag{15}\]

    a následně rovnici (15) zjednodušíme s využitím vztahu (9)

    \[Δh = h_\mathrm{1}\frac{a}{g−a}.\tag{16}\]
  • Nápověda část 3 - kapilára v rozjíždějícím se výtahu z pohledu neinerciálního pozorovatele

    Situaci můžeme také řešit z pohledu pozorovatele, který stojí ve výtahu (neinerciální pozorovatel).

    Rozmyslete si, jak se vzhledem k tomuto pozorovateli pohybuje kapilára s vodou, jaké síly působí na vodu v kapiláře z pohledu pozorovatele a jaká je jejich výslednice.

  • Řešení část 3 - kapilára v rozjíždějícím se výtahu z pohledu neinerciálního pozorovatele

    Pozorovatel stojící ve výtahu - neinerciální pozorovatel

    Vůči pozorovateli ve výtahu je voda v kapiláře v klidu, výslednice sil působících na vodu tedy musí být nulová. Na vodu působí stejně jako v části 2 tíhová síla Fg a výslednice povrchových sil Fk a kromě nich ještě setrvačná síla Fs, která existuje jen v neinerciální vztažné soustavě.

    Obr. 3: Voda v kapiláře pohybující se zrychleně - neinerciální soustava

    Pro výslednici sil platí

    \[\vec{F_\mathrm{g}}+\vec{F_\mathrm{k}}+\vec{F_\mathrm{s}} = 0.\]

    Tíhová síla míří směrem dolů, výslednice povrchových sil Fk i setrvačná síla Fs míří vzhůru. Pro velikosti těchto sil platí

    \[F_\mathrm{g}−F_\mathrm{k}−ma = 0.\]

    Za síly FgFk dosadíme ze vztahů (2) a (3)

    \[mg−p_\mathrm{k}S−ma = 0.\]

    Tento vztah upravíme na tvar

    \[m(g−a) = p_\mathrm{k}S.\tag{12}\]

    Získali jsme stejný vztah (12) jako v předchozí části, kdy jsme situaci řešili z pohledu inerciálního pozorovatele. Úlohu bychom dále řešili stejným způsobem a pro rozdíl výšek hladin bychom také získali vztah (16)

    \[Δh = h_\mathrm{1}\frac{a}{g−a}.\tag{16}\]

    Ať budeme kapiláru pozorovat zevnitř pohybujícího se výtahu, či se budeme na klesající výtah dívat zvenku, uvidíme, že voda v kapiláře pohybující se zrychleně směrem dolů vystoupá výš o stejný kus Δh oproti kapiláře, která je v klidu.

  • Číselné dosazení

    Rozdíl výšek hladin vody Δh mezi kapilárou v klidu a kapilárou v rozjíždějícím se výtahu určíme ze vztahu (16)

    \[Δh = h_\mathrm{1}\frac{a}{g−a}.\tag{16}\]

    Dosadíme zadané hodnoty a vypočítáme

    \[Δh = 1{,}25·10^{−1}·\frac{6}{10−6} \mathrm{m}\] \[Δh \dot{=}\, 187{,}5·10^{−3} \mathrm{m} \dot{=}\, 187{,}5 \mathrm{mm}.\]
  • Odpověď

    Hladina vody v kapiláře umístěné ve výtahu, který se rozjíždí směrem dolů se zrychlením 6 m·s−1, bude o 187,5 mm výše než v kapiláře, která je v klidu.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a
statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
×Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
Zaslat komentář k úloze