Výkon potřebný na přeměnu ledu v páru

Úloha číslo: 351

Jaký výkon potřebujeme vyvinout, chceme-li za jednu hodinu přeměnit 80 kg ledu teploty −20 °C v páru o teplotě 100 °C.

  • Nápověda

    Uvědomte si, jaké všechny děje musí proběhnout, aby se přeměnil led o teplotě nižší než 0 °C na páru o teplotě 100 °C.

    Jaká tepla bude potřeba postupně dodávat?

  • Rozbor

    Výkon potřebný na přeměnu ledu na páru určíme jako podíl celkového spotřebovaného tepla a času, za který to chceme provést.

    Celkové teplo, které budeme dodávat, se spotřebuje na ohřátí ledu na teplotu tání, jeho roztátí, dále na ohřátí vzniklé vody na teplotu varu a na její vypaření.

    Celkové potřebné teplo tedy získáme sečtením všech čtyř potřebných tepel.

  • Zápis

    τ = 1 h = 3600 s doba děje
    t1 = −20 °C teplota ledu na začátku děje
    m = 80 kg hmotnost ledu
    t2 = 100 °C teplota páry na konci děje
    tt = 0 °C teplota tání ledu
    P = ? výkon potřebný na přeměnu ledu na páru

    Z tabulek:

    cl = 2100 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita ledu
    cv = 4180 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita vody
    lt = 334 kJ kg−1 = 3,34·105 J kg−1 měrné skupenské teplo tání ledu
    lv = 2256 kJ kg−1 = = 2,256·106 J kg−1 měrné skupenské teplo vypařování vody
  • Řešení

    K požadované přeměně ledu v páru dané teploty musí proběhnout celkem čtyři děje, z nichž každý je podmíněn dodáním určitého množství tepla, jež můžeme díky znalosti tepelných kapacit a skupenských tepel snadno spočítat. Nejprve je třeba ohřát led na teplotu tání 0 °C (dodáno teplo Q1), poté nechat při stálé teplotě roztát led (Q2), následně ohřát vodu na 100 °C (Q3) a nakonec přeměnit vodu v páru (Q4).

    Pro jednotlivá dílčí tepla platí následující vzorce:

    \[Q_{1} = mc_{l}\left( t_{t} - t_{1}\right)\] \[Q_{2} = ml_{t}\] \[Q_{3} = mc_{v}\left( t_{2} - t_{t}\right)\] \[Q_{4} = ml_{v},\]

    kde m je hmotnost ledu, cl měrná tepelná kapacita ledu, tt teplota tání ledu, t1 počáteční teplota, lt měrné skupenské teplo tání ledu, cv měrná tepelná kapacita vody, t2 konečná teplota a lv měrné skupenské teplo vypařování vody.

    Celkové teplo, jenž musíme dodat, je pochopitelně dáno součtem dílčích tepel

    \[Q = Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+Q_{4} = \] \[=m\left(c_{l}t_{t} - c_{l}t_{1}+l_{t}+c_{v}t_{2}-c_{v}t_{t}+l_{v}\right)=\] \[=m\left[ t_{t}\left( c_{l}-c_{v}\right) -c_{l}t_{1}+l_{t}+c_{v}t_{2}+l_{v}\right]\]

    Hledaný výkon P pak již spočítáme jednoduše jako teplo Q dělené časem τ

    \[P = \frac{Q}{\tau} = \frac{m\left[ t_{t}\left( c_{l}-c_{v}\right) -c_{l}t_{1}+l_{t}+c_{v}t_{2}+l_{v}\right]}{\tau}\]
  • Číselné dosazení

    \[P = \frac{m\left[ t_{t}\left( c_{l}-c_{v}\right) -c_{l}t_{1}+l_{t}+c_{v}t_{2}+l_{v}\right]}{\tau} =\] \[= \frac{80 \cdot \left[ -2100 \cdot \left( -20\right) +3{,}34\cdot{10^{5}}+4180 \cdot{ 100}+2{,}256\cdot{10^{6}}\right]}{3600}\, \mathrm{W}\] \[P = 68\, \mathrm{kW}\]
  • Odpověď

    Na přeměnu daného množství ledu o tepotě −20 °C na páru o teplotě 100 °C potřebujeme výkon 68 kW.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze