Namražování mrazničky

Úloha číslo: 354

Předpokládejme, že při každém otevření se mraznička o vnitřním objemu 210 l zcela naplní vzduchem z místnosti o teplotě 25 °C a relativní vlhkosti 80 %. Kolik ledu se v ní vytvoří po jednom otevření, jestliže dojde k vychlazení vzduchu na teplotu −20 °C? Porovnejte s chladničkou s vnitřní teplotou 5 °C. Pokuste se pro oba případy odhadnout množství uvolněného tepla.

  • Nápověda – absolutní a relativní vlhkost vzduchu

    Při určité teplotě se ve vzduchu „udrží“ (aniž by docházelo ke kondenzaci) určité množství vody. Toto maximální množství označujeme jako sytou vodní páru a v tabulkách můžeme pro zadanou teplotu vyhledat její hustotu. Obvykle je ale ve vzduchu vodní páry méně. Její množství můžeme specifikovat pomocí hustoty vodní páry v daný okamžik (tzv. absolutní vlhkost vzduchu) nebo tím, že řekneme, jaká část vodní páry (obvykle v procentech) z maximálního možného množství pro danou teplotu je momentálně ve vzduchu obsažena (tzv. relativní vlhkost vzduchu). S klesající teplotou klesá i hustota syté páry, to znamená, že při nižší teplotě se ve vzduchu „udrží méně vlhkosti“.

  • Nápověda – jak řešit úlohu

    Při otevření mrazničky se dovnitř dostane teplý vlhký vzduch z místnosti. Při jeho ochlazení část vodní páry zkondenzuje a následně zmrzne.

    K určení množství vodní páry ve vzduchu při dané teplotě použijte hustotu sytých par, kterou naleznete v tabulkách.

  • Zápis

    V = 210 l = 0,210 m3  vnitřní objem mrazničky
    t1 = 25 °Cteplota vzduchu v místnosti
    φ = 80 %relativní vlhkost vzduchu v místnosti
    t2 = −20 °Cteplota v mrazničce
    t3 = 5  °Cteplota v chladničce
    mL = ?hmotnost vytvořeného ledu v mrazničce
    mCh = ?hmotnost vytvořeného ledu v chladničce
    QL = ?uvolněné teplo v mrazničce
    QCh = ?hmotnost vytvořeného ledu v chladničce

    Další potřebné hodnoty:

    ρ1 = 23 g/m3 = 2,3×10−2 kg/m3hustota sytých vodních par při teplotě 25 °C
    ρ2 = 0,88 g/m3 = 8,8×10−4 kg/m3hustota sytých vodních par při teplotě −20 °C
    ρ3 = 6,8 g/m3 = 6,8×10−3 kg/m3hustota sytých vodních par při teplotě 5 °C
    tt = 0 °Cteplota tání ledu
    cL = 2,1 kJkg−1K−1 = 2100 Jkg−1K−1měrná tepelná kapacita ledu
    lt = 334 kJkg−1 = 3,34×105 Jkg−1měrné skupenské teplo tání ledu
    cV = 4,18 kJkg−1K−1 = 4180 Jkg−1K−1  měrná tepelná kapacita vody
    lv = 2260 kJkg−1 = 2,26×106 Jkg−1měrné skupenské teplo varu vody
  • Rozbor

    Při určité teplotě se ve vzduchu „udrží“ (aniž by docházelo ke kondenzaci) určité množství vody. Toto maximální množství označujeme jako sytou vodní páru a v tabulkách můžeme pro zadanou teplotu vyhledat její hustotu. Obvykle je ale ve vzduchu vodní páry méně. Její množství můžeme specifikovat pomocí hustoty vodní páry v daný okamžik (tzv. absolutní vlhkost vzduchu) nebo tím, že řekneme, jaká část vodní páry (obvykle v procentech) z maximálního možného množství pro danou teplotu je momentálně ve vzduchu obsažena (tzv. relativní vlhkost vzduchu). S klesající teplotou klesá i hustota syté páry, to znamená, že při nižší teplotě se ve vzduchu „udrží méně vlhkosti“.

    K teplotě vzduchu v místnosti si vyhledáme hustotu syté vodní páry a ze zadané relativní vlhkosti určíme hustotu vodních par v místnosti. Podobně si vyhledáme hustotu syté vodní páry pro teplotu v mrazničce. Určíme hmotnost vodní páry, kterou uzavřeme v mrazničce, a hmotnost vodní páry, která může zůstat obsažena v chladném vzduchu mrazničky. Zbývající vodní pára nejprve zkondenzuje, ochladí se, zmrzne a dále se ochladí.

  • Řešení

    Nejprve určíme hustotu ρm vodní páry v místnosti. Podle definice relativní vlhkosti platí:

    \[\varphi _1 = \frac{ \varrho _m}{\varrho _1} \Rightarrow \] \[\Rightarrow \varrho _m = \varphi_1 \varrho_1 = 0{,}8 \cdot{2{,}3} \cdot{10^{-2}} \,\mathrm kgm^{-3}=\] \[\,\ \,\ = 1{,}84 \cdot{10^{-2}} \,\mathrm kgm^{-3}\]

    To znamená, že při otevření a vyvětrání lednice se do ní se vzduchem dostane \(m_1 = \varrho_m V\) vodní páry.

    Sytá vodní pára uvnitř mrazničky znamená, že uvnitř může zůstat \(m_2 = \varrho_2 V\) vodní páry. Přebytečná vodní pára zkondenzuje a zmrzne, tj. množství ledu, které po jednom otevření a vyvětrání mrazničky uvnitř vznikne, je dáno rozdílem těchto dvou hmotností:

    \[m_L = m_1 - m_2 = \varrho_m V - \varrho_2 V = (\varphi_1 \varrho_1 - \varrho_2)V\]

    \[m_L = (0{,}8 \cdot{2{,}3}\cdot{10^{-2}} - 8{,}8 \cdot{10^{-4}})\cdot 0{,}21 \,\mathrm kg \dot= 3{,}7\cdot{10^{-3}} \,\mathrm kg =\] \[\,\ \ \,= 3{,}7 \,\mathrm g\]

    Pro chladničku je třeba uvažovat jinou hustotu syté vodní páry \(\varrho_3\):

    \[m_{Ch}=(\varphi_1 \varrho_1 - \varrho_3)V\]

    \[m_{Ch}= (0{,}8 \cdot{2{,}3}\cdot{10^{-2}} - 6{,}8 \cdot{10^{-3}})\cdot 0{,}21 \,\mathrm kg \dot=\] \[\,\ \ \ \dot= 2{,}4\cdot{10^{-3}} \,\mathrm kg = 2{,}4 \,\mathrm g\]

    Při odhadu uvolněného tepla budeme uvažovat, že v případě chladničky pára zkondenzuje, voda vychladne, zmrzne a led se ještě ochladí na teplotu uvnitř mrazničky. Protože neznáme měrné skupenské teplo kondenzace při teplotě místnosti, použijeme měrné skupenské teplo varu vody. Ve skutečnosti bude uvolněné teplo větší.

    \[Q_L = l_v m_L + c_V m_{Ch} (t_1 - t_t) + l_t m_L + c_Lm_L (t_t-t_2)=\] \[=\ \,\ \, [l_v + c_V(t_1-t_t) + l_t + c_L(t_t-t_2)]m_L\]

    \[Q_L = [ 2{,}26 \cdot{10^6} + 4180 \cdot{(25-0)} + 3{,}34\cdot{10^5} + 2100\cdot (0+20)] \cdot 3{,}7 \cdot{10^{-3}}\dot=\] \[\, \ \ \,\, \ \dot= 10000 \,\mathrm J= 10 \, \mathrm kJ \]

    V případě chladničky dojde jen ke kondenzaci vodní páry a ochlazení vody:

    \[Q_{Ch} = l_v m_{Ch} + c_V m_{Ch} (t_1 - t_3) = [l_v + c_V(t_1-t_3)]m_{Ch}\]

    \[Q_{Ch} = [2{,}26 \cdot{10^6} + 4180 \cdot (25-5)]\cdot 2{,}4 \cdot{10^{-3}} \dot= 5600\,\mathrm J = 5{,}6 \,\mathrm kJ\]

  • Odpověď

    V mrazničce po jednom otevření vznikne 3,7 g a v chladničce 2,4 g ledu. Přitom se uvolní minimálně 10 kJ tepla v případě mrazničky a 5,6 kJ tepla v případě chladničky.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze