Zdánlivý koeficient teplotní roztažnosti rtuti
Úloha číslo: 484
Skleněná koule s kapilární trubicí byla při teplotě 0 °C naplněna až po okraj rtutí o objemu 400 cm3. V lázni o teplotě 100 °C z ní vyteklo 6,228 cm3 rtuti. Jak velký je zdánlivý koeficient objemové roztažnosti rtuti?
Nápověda – co je zdánlivý koeficient roztažnosti
Zdánlivý koeficient objemové roztažnosti je závislý na nádobě, ve které je kapalina umístěna. Udává změnu objemu kapaliny ve vztahu k objemu dané nádoby, jenž se samozřejmě s teplotou také mění.
Rozbor
Nejprve si musíme uvědomit, jaký je rozdíl mezi skutečným a zdánlivým koeficientem objemové roztažnosti kapaliny. Zatímco skutečný koeficient roztažnosti udává, jak se se změnou teploty mění objem kapaliny, zdánlivý koeficient roztažnosti se vztahuje k nádobě, ve které je kapalina a jejíž objem se se změnou teploty také mění. Můžeme si to představit třeba tak, že na nádobě je stupnice, která udává objem kapaliny uvnitř a s roztahováním nádoby se mění i stupnice nádoby, takže neukazuje skutečný, ale zdánlivý objem kapaliny.
Z toho, že víme, kolik rtuti z nádoby vyteklo při zvýšení teploty o 100 °C, můžeme určit zdánlivý koeficient roztažnosti pro danou nádobu a kapalinu. Vyjdeme ze známého vztahu pro teplotní objemovou roztažnost kapalin, kde známe všechny veličiny kromě hledaného koeficientu. Z této rovnice pak koeficient můžeme snadno vyjádřit a vypočítat.
Zápis
t0 = 0 °C počáteční teplota V0 = 400 cm3 počáteční objem rtuti t1 = 100 °C teplota lázně ΔV = 6,228 cm3 objem rtuti, která vytekla βz = ? zdánlivý koeficient roztažnosti rtuti Řešení
Při řešení tohoto úkolu si především musíme uvědomit rozdíl mezi skutečným a zdánlivým koeficientem roztažnosti kapaliny, který je popsán v oddíle Rozbor. Zdánlivý koeficient βz je tedy pro danou kapalinu a danou nádobu dán vztahem
\[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{rozd}}=\beta_{\mathrm{z}} V_0(t_1-t_0), \]kde V0 je původní objem kapaliny, t1 − t0 rozdíl teplot a ΔVrozd udává rozdíl změny objemu kapaliny a změny objemu nádoby, v níž je kapalina umístěna. V naší úloze je však rozdíl změn objemů ΔVrozd určen právě objemem rtuti ΔV, která z nádoby vytekla. Z tohoto důvodu můžeme psát
\[ \mathrm{\Delta}V=\beta_{\mathrm{z}} V_0\left(t_1-t_0\right) \]a odtud již můžeme vyjádřit βz
\[\beta_{\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{\Delta}V}{V_0\left(t_1-t_0\right)}\,.\]Číselné dosazení:
Objemy ΔV a V0 můžeme dosadit v cm2, neboť se vyskytují v podílu a jejich jednotka se tedy zkrátí:
\[\beta_{\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{\Delta}V}{V_0\left(t_1-t_0\right)}=\frac{6{,}228}{400\left(100-0\right)}\,{\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}}=156\cdot{10^{-6}}{\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}}\]Odpověď
Zdánlivý koeficient objemové roztažnosti rtuti je pro naši nádobu 156·10−6 °C−1.
Zdánlivý koeficient roztažnosti
Zdánlivý koeficient rtuti v železné nádobě můžeme také vypočítat ze vztahů pro objemovou roztažnost obou materiálů.
Pro změnu objemu rtuti platí:
\[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{r}}=\beta_{\mathrm{r}} V_0\left(t_1-t_0\right), \]kde βr je koeficient objemové roztažnosti rtuti, V0 objem při počáteční teplotě a t1 − t0 je rozdíl teplot.
Vnitřní objem nádoby se mění se stejným koeficientem roztažnosti jako objem materiálu, ze kterého je nádoba vyrobena. Můžeme si to představit tak, že do železné nádoby dáme úplně natěsno železný předmět. Když budeme vše zahřívat, musí se nádoba i předmět uvnitř roztahovat stejně (jsou ze stejného materiálu) a budou tedy stále natěsno. Z toho plyne, že se vnitřní objem nádoby mění se stejným koeficientem roztažnosti jako materiál, ze kterého je nádoba vyrobena.
Pro změnu vnitřního objemu nádoby tedy můžeme psát:
\[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{n}}=\beta_{\mathrm{n}} V_0\left(t_1-t_0\right), \]kde βn je koeficient objemové roztažnosti železa, V0 vnitřní objem nádoby při počáteční teplotě a t1 − t0 rozdíl teplot.
Na počátku měla rtuť stejný objem jako nádoba, tedy V0. Když od sebe odečteme rovnice pro změnu objemů, dostaneme vztah pro zdánlivý koeficient:
\[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{r}}-\mathrm{\Delta}V_{\mathrm{n}}=\beta_{\mathrm{r}} V_0\left(t_1-t_0\right)-\beta_{\mathrm{n}} V_0(t_1-t_0), \] \[ \mathrm{\Delta}V_{\mathrm{r}}-\mathrm{\Delta}V_{\mathrm{n}}=\left(\beta_{\mathrm{r}}-\beta_{\mathrm{n}}\right) V_0\left(t_1-t_0\right). \]Levá strana rovnice nám říká, jaký objem rtuti vyteče z nádoby a na pravé straně máme místo jednoho koeficientu rozdíl dvou. Tento rozdíl je ale právě hledaný zdánlivý koeficient rtuti βz.
Odvodili jsme tedy, že:
\[ \beta_{\mathrm{z}}=\beta_{\mathrm{r}}-\beta_{\mathrm{n}}. \]Pokud do vztahu dosadíme tabulkové hodnoty:
βr = 2·10−4 °C−1
βn = 36·10−6 °C−1
Dostáváme:
\[ \beta_{\mathrm{z}}=\beta_{\mathrm{r}}-\beta_{\mathrm{n}}=\left(2\cdot{10^{-4}}-36\cdot{10^{-6}}\right)\,\mathrm{^{\circ}C^{-1}}=1{,}64\cdot{10^{-4}}\,\mathrm{^{\circ}C^{-1}}. \]Tabulková a naměřená hodnota se tedy liší přibližně o 5%.
