Kalení oceli
Úloha číslo: 367
Pět ocelových desek o celkové hmotnosti 7 kg bylo zahřáto na teplotu 910 °C a ponořeno do oleje o teplotě 10 °C. Teplota vzplanutí oleje je 230 °C.
Jaký objem oleje musíme do kalicí lázně použít, aby její konečná teplota byla alespoň 40 °C pod teplotou vzplanutí oleje?
Nápověda
Rozmyslete si, co se bude dít s teplotou a teplem, po ponoření desek do oleje. Jakou rovnicí takový děj můžete popsat?
Rozbor
K řešení této úlohy použijeme kalorimetrickou rovnici. Podle ní se teplo přijaté chladnějším tělesem od teplejšího rovná teplu odevzdanému teplejším tělesem studenějšímu. V této úloze se tedy teplo přijaté vodou bude rovnat teplu, které odevzdají desky.
Hledaný objem oleje dostaneme do rovnice tak, že pomocí něj a hustoty vyjádříme hmotnost oleje. Z takto vzniklé rovnice již lze objem vyjádřit.
Zápis
md = 7 kg hmotnost ocelových desek td = 910 °C počáteční teplota desek to = 10 °C počáteční teplota oleje tvz = 230 °C teplota vzplanutí oleje Δt = 40 °C rozdíl mezi teplotou vzplanutí a výslednou teplotou lázně V = ? objem oleje Z tabulek:
coc = 452 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita oceli ρ = 894 kg m−3 hustota oleje col = 1870 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita oleje
Hodnoty pro hustotu a měrnou tepelnou kapacitu oleje jsou přibližné, protože v úloze není zadán druh oleje. Použité hodnoty jsou aritmetickými průměry údajů pro olej ricínový, terpentýnový a transformátorový, které jsou uvedeny v tabulkách.
Řešení
Úloha vypadá díky velkému množství údajů v zadání komplikovaně, ve skutečnosti však nejde o nic jiného, než o klasické užití kalorimetrické rovnice.
Uvědomíme si, že ocelové desky odevzdávají teplo
\[Q_{od} = m_{d}c_{oc}\left[ t_{d} - \left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t \right) \right] ,\]kde md je hmotnost ocelových desek, coc je měrná tepelná kapacita oceli, td je počáteční teplota desek a tvz je teplota vzplanutí oleje.Výraz v závorce přitom vyjadřuje skutečnost, že výsledná teplota má být Δt = 40 °C pod zadanou teplotou vzplanutí oleje.
Teplo přijaté olejem je pak
\[Q_{d} = m_{ol}c_{ol}\left[ \left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t\right) - t_{o} \right] ,\]kde mol je hmotnost oleje, col jeho měrná tepelná kapacita a to je počáteční teplota oleje.
Opět jsme přitom využili poznatek o výsledné teplotě soustavy. Hmotnost oleje neznáme a ani znát nemusíme, můžeme ji však vyjádřit pomocí hledaného objemu V vztahem
\[m_{ol}=\rho V\, ,\]kde ρ je hustota oleje.
Po dosazení do rovnice Qod = Qd a několika úpravách pak snadno spočteme hledanou hodnotu objemu V.
\[Q_{od}=Q_{d}\] \[m_{d}c_{oc}\left[ t_{d} - \left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t \right) \right] = \rho V c_{ol}\left[ \left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t\right) - t_{o} \right]\] \[V=\frac{m_{d}c_{oc}\left[ t_{d} - \left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t \right) \right]}{\rho c_{ol}\left[ \left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t\right) - t_{o} \right]}\]Číselné dosazení
\[V=\frac{m_{d}c_{oc}\left( t_{d} - t_{vz} + \mathrm{\Delta} t \right)}{\rho c_{ol}\left( t_{vz} - \mathrm{\Delta} t - t_{o} \right)}= \frac{7\cdot{ 452}\cdot \left( 910 - 230 + 40 \right)}{894\cdot{ 1870}\cdot \left( 230 - 40 - 10 \right)}\, \mathrm{m^{3}}\] \[V=0{,}0076 \, \mathrm{m^{3}} \dot{=}8\, \mathrm{l}\]Odpověď
Do kalicí lázně musíme použít olej o objemu nejméně 8 l.
