van der Waalsova rovnice

Úloha číslo: 459

Za atmosférického tlaku 101 325 Pa a teploty 273,15 K izotermicky stlačíme dusík o hmotnosti 28 g na desetinu původního objemu. Určete práci plynu za předpokladu, že se jeho chování řídí van der Waalsovou rovnicí.

  • Nápověda – práce dusíku

    Rozmyslete si, jak spočítat práci dusíku, jestliže jeho tlak není konstantní.

  • Nápověda – vyjádření tlaku

    K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V máte použít van der Waalsovu rovnici.

    Rozmyslete si, které veličiny v ní známe a které musíme ještě vyjádřit.

  • Zápis

    T = 273,15 K teplota, při níž probíhal děj
    p1 = 101 325 Pa astmosférický tlak
    m = 28 g = 0,028 kg hmotnost dusíku
    V2 = 0,1V1 objem dusíku po stlačení
    ΔW = ? práce plynu

    Z tabulek:

    Mm = 28 g mol−1 = 0,028 kg mol−1 molární hmotnost dusíku
    R = 8,31 Jmol−1K−1 molární plynová konstanta
    a = 0,137 Jm3mol−2 „van der Waalsova“ konstanta pro dusík
    b = 38,7·10−6 m3mol−1 „van der Waalsova“ konstanta pro dusík
  • Rozbor

    Pro výpočet práce dusíku musíme použít integrální počet, protože tlak není konstantní (je funkcí objemu).

    Tlak dusíku vyjádříme z van der Waalsovy rovnice a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem dusíku.

    Neznámé látkové množství dusíku určíme pomocí jeho hmotnosti a molární hmotnosti.

    Pro výpočet původního objemu dusíku použijeme stavovou rovnici ideálního plynu. Vzhledem k tomu, že na počátku děje byl plyn pod atmosférickým tlakem a teprve později došlo k jeho stlačení, a tudíž zvýšení tlaku, je tento zjednodušující předpoklad vcelku oprávněný (stavová rovnice ideálního plynu platí dobře právě pro nízké tlaky).

  • Řešení

    Při konstantním tlaku platí pro vykonanou práci vzorec W = p(V2 − V1).

    V našem případě však tlak p konstantní není (nejedná se o izobarický děj), což znamená, že musíme použít obecnější vztah

    \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)\, \text{d}V,\]

    kde V1 je počáteční objem dusíku a V2 jeho objem po stlačení.

    Proto nyní musíme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V. K tomu využijeme van der Waalsovu rovnici

    \[\left(p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right)(v-nb)=nRT,\]

    kde p je tlak, V objem, T termodynamická teplota, R molární plynová konstanta, n látkové množství a konečně ab konstanty vystihující neideálnost plynu.

    Nyní si van der Waalsovu rovnici upravíme tak, abychom měli k dispozici explicitně vyjádřený tlak pomocí ostatních veličin. Platí:

    \[p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}=\frac{nRT}{V-nb},\]

    a tedy

    \[p=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{n^{2}a}{V^{2}}.\]

    Nalezený výraz pro tlak dosadíme do původního vztahu pro vykonanou práci W a můžeme přistoupit k samotné integraci:

    \[W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}{p}\,\mathrm{d}V=\int_{V_{1}}^{0{,}1V_{1}}\left({\frac{nRT}{V-nb}-\frac{n^{2}a}{V^{2}}}\right)\mathrm{d}V=\]

    integrál rozdělíme na dva jednodušší a vytkneme před ně konstanty

    \[=nRT\int_{V_{1}}^{0{,}1V_{1}}{\frac{\mathrm{d}V}{V-nb}}-n^{2}a\int_{V_{1}}^{0{,}1V_{1}}{\frac{\mathrm{d}V}{V^{2}}}=\]

    zintegrujeme

    \[=nRT\left[\ln(V-nb)\right]_{V_{1}}^{0{,}1V_{1}}+n^{2}a\left[\frac{1}{V}\right]_{V_{1}}^{0{,}1V_{1}}=\]

    a dosadíme meze

    \[=nRT\ln{\left(\frac{0{,}1V_{1}-nb}{V_{1}-nb}\right)}+n^{2}a\left(\frac{1}{0{,}1V_{1}}-\frac{1}{V_{1}}\right).\]

    Po úpravě výrazu ve druhé závorce dostaneme pro vykonanou práci vztah

    \[W=nRT\ln{\left(\frac{0{,}1V_{1}-nb}{V_{1}-nb}\right)}+\frac{9n^{2}a}{V_{1}}.\]

    Abychom mohli práci dopočítat, musíme ještě nejdříve určit neznámé látkové množství n dusíku a jeho původní objem V1.

    Látkové množství vypočítáme snadno ze vzorce

    \[n=\frac{m}{M_{m}},\]

    kde m je hmotnost dusíku a Mm jeho molární hmotnost.

    Původní objem V1 dusíku bychom mohli spočítat přímo z van der Waalsovy rovnice. Dostali bychom však pro něj rovnici 3. stupně (tzn. že se v ní hledaný objem vyskytuje ve 3. mocnině). Takovéto rovnice bohužel vůbec není snadné počítat; zpravidla je nutné použít nějakou složitější numerickou metodu. Proto si úlohu zjednodušíme tím, že pro výpočet původního objemu využijeme stavovou rovnici ideálního plynu

    \[p_1V_{1}=\frac{m}{M_{m}}RT,\]

    z níž objem rovnou vyjádříme

    \[V_{1}=\frac{mRT}{M_{m}p_1}.\]

    Vzhledem k tomu, že na počátku děje byl plyn pod atmosférickým tlakem a teprve později došlo k jeho stlačení, a tudíž zvýšení tlaku, je tento zjednodušující předpoklad vcelku oprávněný (stavová rovnice ideálního plynu platí dobře právě pro nízké tlaky).

    Dosazením za nV1 do vztahu pro vykonanou práci pak dostáváme konečný vzorec:

    \[W=\frac{mRT}{M_m}\ln\left(\frac{0{,}1\frac{RT}{p_1}-b}{\frac{RT}{p_1}-b}\right)+\frac{9mp_1a}{M_mRT}.\]
  • Číselné dosazení

    \[W=\frac{mRT}{M_m}\ln\left(\frac{0{,}1\frac{RT}{p_1}-b}{\frac{RT}{p_1}-b}\right)+\frac{9mp_1a}{M_mRT}\] \[W=\frac{0{,}028\cdot{8{,}31}\cdot{273{,}15}}{0{,}028}\cdot\ln\left(\frac{0{,}1\cdot\frac{8{,}31\cdot{273{,}15}}{101\,325}-38{,}7\cdot{10^{-6}}}{\frac{8{,}31\cdot{273{,}15}}{101\,325}-38{,}7\cdot{10^{-6}}}\right)+\] \[+\frac{9\cdot{0{,}028}\cdot{101}\,325\cdot{0{,}137}}{0{,}028\cdot{8{,}31}\cdot{273{,}15}}\Big]\large \,\mathrm{J}\] \[W\dot{=}-5200\,\mathrm{J}=-5{,}2\,\mathrm{kJ}\]
  • Odpověď

    Dusík vykonal při svém stlačení práci přibližně −5,2 kJ.

  • Komentář

    To, že výsledná práce vyšla záporná, je v pořádku. Pokud totiž probíhá stlačování, koná práci okolí, a to se v souladu se znaménkovou konvencí projeví právě záporným výsledkem u práce konané plynem.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze