Efektivní průměr molekul kyslíku
Úloha číslo: 441
Určete efektivní průměr molekul kyslíku, víte-li, že jeho viskozita za normálních podmínek je 19,2·10−6 Pa s.
Kyslík pokládejte za ideální plyn.
Nápověda 1
V zadání se hovoří o normálních podmínkách. Co to znamená?
Nápověda 2
Při výpočtu efektivního průměru def molekul kyslíku vyjděte ze vztahu pro viskozitu η plynu
\[\eta=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho,\]kde \(\bar{v}\) je střední rychlost molekul plynu, \(\bar{\lambda}\) jeho střední volná dráha a ρ hustota.
Ani jednu z uvedených veličin neznáme. Rozmyslete si, jak je určit.
Zápis
η = 19,2·10−6 Pa s viskozita kyslíku def = ? efektivní průměr molekul kyslíku
Z tabulek:
Mm = 32 g mol−1 = 0,032 kg mol−1 molární hmotnost kyslíku T = 273,15 K normální teplota p = 101 325 Pa normální tlak k = 1,38 ·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta Rozbor
Při výpočtu efektivního průměru molekul kyslíku vyjdeme z toho, že viskozita plynu je přímo úměrná střední rychlosti molekul plynu, jeho střední volné dráze a hustotě.
První dvě veličiny vyjádříme pomocí známých vztahů statistické fyziky. Hustotu kyslíku určíme ze stavové rovnice ideálního plynu.
Řešení
Vyjdeme ze vztahu pro viskozitu η plynu
\[\eta=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho,\]kde \(\bar{v}\) je střední rychlost molekul plynu, \(\bar{\lambda}\) jeho střední volná dráha a ρ hustota.
Pro střední rychlost \(\bar{v}\) molekul platí vzorec
\[\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}},\]kde R je molární plynová konstanta, T teplota za normálních podmínek a Mm molární hmotnost plynu.
Střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\) zase lze určit ze vztahu
\[\bar{\lambda}=\frac{kT}{\pi \sqrt{2}\,p d_{ef}^{2}},\]kde k je Boltzmannova konstanta, p tlak za normálních podmínek a def efektivní průměr molekuly plynu.
Nyní ještě musíme určit hustotu ρ kyslíku za daných (normálních) podmínek. Vyjdeme ze stavové rovnice ideálního plynu ve tvaru
\[pV=\frac{m}{M_{m}}RT,\]kde p je tlak, T teplota, m hmotnost, Mm molární hmotnost, V objem kyslíku a R molární plynová konstanta.
Rovnici upravíme
\[pM_m=\frac{m}{V}RT,\]využijeme vztah mezi hustotou, hmotností a objemem a dostaneme pro hustotu vztah
\[\rho=\frac{pM_{m}}{RT}.\]Po dosazení získaných vztahů do původního vzorce pro viskozitu dostaneme výraz
\[\eta=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}}\,\frac{kT}{\pi \sqrt{2}\,p d_{ef}^{2}}\,\frac{pM_{m}}{RT}.\]Vzorec upravíme
\[\eta=\frac{k}{d_{ef}^2}\sqrt{\frac{TM_m}{\pi^3R}}\]a vyjádříme z něj hledaný efektivní průměr def molekul kyslíku
\[d_{ef}=\sqrt{\frac{k}{\eta}\sqrt{\frac{TM_m}{\pi^3R}}}.\]Číselné dosazení
\[d_{ef}=\sqrt{\frac{k}{\eta}\sqrt{\frac{TM_m}{\pi^3R}}}=\sqrt{\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}}{19{,}2\cdot{10^{-6}}}\sqrt{\frac{273{,}15\cdot{0{,}032}}{\pi^3\cdot{8{,}31}}}}\,\mathrm{m}\] \[d_{ef}\dot{=}3{,}6\cdot{10^{-10}}\,\mathrm{m}=0{,}36\,\mathrm{nm}\]Odpověď
Efektivní průměr molekuly kyslíku je přibližně 0,36 nm.
Přesnost řešení
U vzorce pro viskozitu není konstanta na začátku přesně 1/2, jak jsme uvedli v příkladě. Tento údaj vychází z přibližného teoretického výpočtu, podrobnější rozbor dává poněkud jinou hodnotu. Proto je možné, že uvedený výsledek zcela přesně nesouhlasí se skutečnou hodnotou.
