Efektivní průměr molekul kyslíku

Úloha číslo: 441

Určete efektivní průměr molekul kyslíku, víte-li, že jeho viskozita za normálních podmínek je 19,2·10−6 Pa s.

Kyslík pokládejte za ideální plyn.

  • Nápověda 1

    V zadání se hovoří o normálních podmínkách. Co to znamená?

  • Nápověda 2

    Při výpočtu efektivního průměru def molekul kyslíku vyjděte ze vztahu pro viskozitu η plynu

    \[\eta=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho,\]

    kde \(\bar{v}\) je střední rychlost molekul plynu, \(\bar{\lambda}\) jeho střední volná dráha a ρ hustota.

     

    Ani jednu z uvedených veličin neznáme. Rozmyslete si, jak je určit.

  • Zápis

    η = 19,2·10−6 Pa s viskozita kyslíku
    def = ? efektivní průměr molekul kyslíku

    Z tabulek:

    Mm = 32 g mol−1 = 0,032 kg mol−1 molární hmotnost kyslíku
    T = 273,15 K normální teplota
    p = 101 325 Pa normální tlak
    k = 1,38 ·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta
    R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta
  • Rozbor

    Při výpočtu efektivního průměru molekul kyslíku vyjdeme z toho, že viskozita plynu je přímo úměrná střední rychlosti molekul plynu, jeho střední volné dráze a hustotě.

    První dvě veličiny vyjádříme pomocí známých vztahů statistické fyziky. Hustotu kyslíku určíme ze stavové rovnice ideálního plynu.

  • Řešení

    Vyjdeme ze vztahu pro viskozitu η plynu

    \[\eta=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho,\]

    kde \(\bar{v}\) je střední rychlost molekul plynu, \(\bar{\lambda}\) jeho střední volná dráha a ρ hustota.

    Pro střední rychlost \(\bar{v}\) molekul platí vzorec

    \[\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}},\]

    kde R je molární plynová konstanta, T teplota za normálních podmínek a Mm molární hmotnost plynu.

    Střední volnou dráhu \(\bar{\lambda}\) zase lze určit ze vztahu

    \[\bar{\lambda}=\frac{kT}{\pi \sqrt{2}\,p d_{ef}^{2}},\]

    kde k je Boltzmannova konstanta, p tlak za normálních podmínek a def efektivní průměr molekuly plynu.

    Nyní ještě musíme určit hustotu ρ kyslíku za daných (normálních) podmínek. Vyjdeme ze stavové rovnice ideálního plynu ve tvaru

    \[pV=\frac{m}{M_{m}}RT,\]

    kde p je tlak, T teplota, m hmotnost, Mm molární hmotnost, V objem kyslíku a R molární plynová konstanta.

    Rovnici upravíme

    \[pM_m=\frac{m}{V}RT,\]

    využijeme vztah mezi hustotou, hmotností a objemem a dostaneme pro hustotu vztah

    \[\rho=\frac{pM_{m}}{RT}.\]

    Po dosazení získaných vztahů do původního vzorce pro viskozitu dostaneme výraz

    \[\eta=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}\rho=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}}\,\frac{kT}{\pi \sqrt{2}\,p d_{ef}^{2}}\,\frac{pM_{m}}{RT}.\]

    Vzorec upravíme

    \[\eta=\frac{k}{d_{ef}^2}\sqrt{\frac{TM_m}{\pi^3R}}\]

    a vyjádříme z něj hledaný efektivní průměr def molekul kyslíku

    \[d_{ef}=\sqrt{\frac{k}{\eta}\sqrt{\frac{TM_m}{\pi^3R}}}.\]
  • Číselné dosazení

    \[d_{ef}=\sqrt{\frac{k}{\eta}\sqrt{\frac{TM_m}{\pi^3R}}}=\sqrt{\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}}{19{,}2\cdot{10^{-6}}}\sqrt{\frac{273{,}15\cdot{0{,}032}}{\pi^3\cdot{8{,}31}}}}\,\mathrm{m}\] \[d_{ef}\dot{=}3{,}6\cdot{10^{-10}}\,\mathrm{m}=0{,}36\,\mathrm{nm}\]
  • Odpověď

    Efektivní průměr molekuly kyslíku je přibližně 0,36 nm.

  • Přesnost řešení

    U vzorce pro viskozitu není konstanta na začátku přesně 1/2, jak jsme uvedli v příkladě. Tento údaj vychází z přibližného teoretického výpočtu, podrobnější rozbor dává poněkud jinou hodnotu. Proto je možné, že uvedený výsledek zcela přesně nesouhlasí se skutečnou hodnotou.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze