Ohřívání hřebíku při zatloukání
Úloha číslo: 350
Ocelový hřebík o hmotnosti 50 g byl zaražen do prkna 20 údery kladiva. Hmotnost kladiva byla 0,5 kg a jeho dopadová rychlost 12 m s−1.
Budeme předpokládat, že se kladivo při každém úderu do hřebíku zcela zastaví.
Jaké je zvětšení teploty hřebíku, přijal-li 70 % energie přeměněné při dopadech kladiva?
Nápověda
Uvědomte si, jaká energie kladiva se bude přeměňovat při jeho dopadech na hřebík a na jakou formu se přemění.
Rozbor
Při nárazech kladiva na hřebík dojde k přeměně veškeré kinetické energie kladiva na vnitřní energii. Hřebík však přijme jen uvedenou část této energie a tím se zvýší jeho teplota.
Nejdříve tedy spočítáme celkovou uvolněnou energii, poté její část, kterou hřebík skutečně přijme, a nakonec dopočítáme výslednou teplotu.
Zápis
m = 50 g = 0,05 kg hmotnost hřebíku n = 20 počet úderů kladiva mk = 0,5 kg hmotnost kladiva v = 12 m s−1 dopadová rychlost kladiva η = 70 % = 0,70 podíl energie přijaté hřebíkem ΔT = ? změna teploty hřebíku Z tabulek:
c = 482 J kg−1 K−1 měrná tepelná kapacita oceli Řešení
Nejprve spočteme celkovou energii E1 uvolněnou při dopadech kladiva na hřebík. Díky tomu, že se kladivo vždy zcela zastaví, je energie uvolněná při každém z nárazů rovna veškeré kinetické energii kladiva před dopadem.
Proto můžeme psát, že
\[E_{1} = nE_\mathrm{k} = \frac{1}{2}nm_\mathrm{k}v^{2},\]kde n je počet úderů kladiva, mk je jeho hmotnost a v jeho dopadová rychlost.
Hřebík však přijal pouze část takto vzniklého tepla (a sice η = 70 % = 0,7), a to
\[E_{2} = \eta E_{1} = \frac{\eta nm_\mathrm{k}v^{2}}{2}\, .\]Tato energie se projevila zvýšením teploty hřebíku. Proto musí platit, že
\[E_{2} = mc\mathrm{\Delta} T,\] \[\mathrm{\Delta} T = \frac{E_{2}}{mc} = \frac{\eta nm_\mathrm{k}v^{2}}{2mc},\]kde m je hmotnost hřebíku a c je měrná tepelná kapacita oceli.
Číselné dosazení
\[\mathrm{\Delta} T = \frac{\eta nm_\mathrm{k}v^{2}}{2mc} = \frac{0{,}70\cdot{20}\cdot 0{,}5\cdot{12^{2}}}{2\cdot{ 0{,}05}\cdot{482}}\, \mathrm{K}\] \[\mathrm{\Delta} T \dot= 21\, \mathrm{K}\, \Rightarrow\, \mathrm{\Delta}t \dot= 21\, \mathrm{^{\circ}C}\]Odpověď
Hřebík zvýšil svoji teplotu o 21 °C.
Odkaz na pokus
Video skutečného ohřívání zatloukaného hřebíku naleznete v rámci pokusu Změna vnitřní energie konáním práce: Zatloukání hřebíku.
