Únik amoniaku
Úloha číslo: 321
V ocelové nádobě je 300 g plynného amoniaku při tlaku 1,35 MPa a teplotě 77 °C.
a) Jaký je objem nádoby?
b) Po určité době teplota nádoby poklesla na teplotu okolí 22 °C a uvnitř byl naměřen tlak 0,87 MPa. Kolik plynu uniklo stěnami nádoby?
Amoniak považujte za ideální plyn.
Nápověda
Oba údaje lze jednoduše zjistit ze stavové rovnice pro ideální plyn. Nejprve pomocí ní a počátečního tlaku a teploty plynu určíme objem nádoby.
Objem nádoby se během úniku amoniaku nezmění, takže z něho a zadaných údajů lze spočítat množství plynu, které v nádobě zbylo.
Zápis
m = 300 g = 0,300 kg hmotnost amoniaku p1 = 1,35 MPa = 1,35·106 Pa počáteční tlak amoniaku t1 = 77 °C ⇒ T1 = 350 K počáteční teplota amoniaku V = ? objem nádoby t2 = 22 °C ⇒ T2 = 295 K konečná teplota amoniaku p2 = 0,87 MPa = 0,87·106 Pa konečný tlak amoniaku Δm = ? hmotnost amoniaku, který unikl přes stěny nádoby Z tabulek: R = 8,31 JK-1mol-1 molární plynová konstanta Amoniak má vzorec NH3 Ar(N) = 14 relativní atomová hmotnost dusíku N Ar(H) = 1 relativní atomová hmotnost vodíku H Rozbor
Budeme předpokládat, že se amoniak za uvedených podmínek chová jako ideální plyn, a proto pro něj platí stavová rovnice ideálního plynu. Do této rovnice dosadíme údaje o počátečním stavu plynu a látkové množství určíme ze známé hmotnosti a složení amoniaku. Stavová rovnice nám umožní určit hledaný objem nádoby.
Pro výpočet části b) použijeme také stavovou rovnici pro ideální plyn. V tomto případě ale vyjádříme neznámou hmotnost pomocí zadaných vlastností a tu porovnáme s původní hmotností.
Řešení
a) Nejprve si napíšeme stavovou rovnici pro počáteční stav amoniaku:
\[p_1V\,=\,nRT_1.\]Látkové množství n vyjádříme pomocí celkové hmotnosti plynu m a jeho molární hmotnosti Mm:
\[n\,=\,\frac{m}{M_\mathrm{m}}\,,\]kde molární hmotnost Mm = [Ar(N) + Ar(H)] g mol-1 = (14 + 3·1) g mol-1 = 0,017 kg mol-1.
Vyjádříme neznámý objem V a dosadíme zadané hodnoty:
\[ V\,=\,\frac{mRT_1}{p_1M_\mathrm{m}}\,=\,\frac{0{,}3\cdot{ 8}{,}31\cdot{350}}{1{,}35\cdot{10^6}\cdot{0{,}017}}\,\mathrm{m^3}\,=\,0{,}038\,\mathrm{m^3}\,=\,38\,\mathrm{l}\,. \]b) V druhé části úlohy využijeme nalezený objem nádoby V a pomocí konečné teploty T2 a tlaku p2 určíme hmotnost amoniaku, který v nádobě zůstal. Vyjdeme opět ze stavové rovnice:
\[ p_2V\,=\,\frac{m_2}{M_\mathrm{m}}RT_2\hspace{15px}\Rightarrow\hspace{15px}m_2\,=\,\frac{p_2VM_\mathrm{m}}{RT_2}\,. \]Do vztahu pro m2 dosadíme vyjádření objemu V z předchozí části:
\[ m_2\,=\,\frac{p_2\frac{mRT_1}{p_1M_\mathrm{m}}M_\mathrm{m}}{RT_2}\,=\,\frac{mp_2T_1}{p_1T_2}\,. \]Hmotnost uniklého amoniaku Δm se rovná rozdílu obou hmotností:
\[ \Delta m\,=\,m\,-\,m_2\,=\,m\,-\,\frac{mp_2T_1}{p_1T_2}\,=\,m\left(1-\frac{p_2T_1}{p_1T_2}\right). \]Nakonec dosadíme zadané číselné hodnoty:
\[ \Delta m\,=\,0{,}300\cdot{\left(1-\frac{0{,}87\cdot {10^6}\cdot{350}}{1{,}35\cdot{10^6}\cdot{295}}\right)}\,\mathrm{kg}\,=\,0{,}071\,\mathrm{kg}\,=\,71\,\mathrm{g}. \]Určíme ještě, jaká část hmotnosti amoniaku unikla:
\[ \frac{\Delta m}{m}\,=\,\frac{71}{300}\,=\,0{,}24\,=\,24\,\%\,. \]Odpověď
Objem ocelové nádoby s amoniakem je asi 38 l. Přes stěny nádoby uniklo přibližně 71 g amoniaku, což představuje asi 24 % původní hmotnosti.
