Sbírka řešených úloh

Adiabatické stlačení v hustilce

Úloha číslo: 334

• Nápověda – o jaký děj se jedná

  Prudké stlačení je velmi rychlý děj, takže můžeme předpokládat, že při něm nebude docházet k tepelné výměně mezi vzduchem v hustilce a okolím.

  V takovém případě mluvíme o adiabatickém ději, který popisuje Poissonův zákon.

• Poissonův zákon pro adiabatický děj

  Poissonův zákon pro adiabatický děj zní:

  \[ p_0V_0^{\kappa}\,=\,pV^{\kappa}, \]

  kde κ je tzv. Poissonova konstanta.

• Nápověda – co udělat s neznámými objemy

  Počáteční ani konečný objem plynu neznáme. Pokud ale vyjádříme konečný tlak z Poissonovy rovnice, zjistíme, že se v něm vyskytuje pouze jejich podíl.

  Podíl objemů je ale stejný jako podíl délky válce hustilky na začátku a na konci stlačování.

• Zápis

  l = 50 cm	počáteční vzdálenost pístu ode dna
  d = 20 cm	posunutí pístu
  p = ?	tlak vzduchu po stlačení
  t = ?	teplota vzduchu po stlačení

  Další údaje:

  pa = 1,01325·105 Pa	normální atmosférický tlak
  t0 = 20 °C ⇒ T0 = 293 K	počáteční teplota vzduchu
  κ = 1,39	Poissonova konstanta pro vzduch

  (vzduch je složen převážně z plynů s dvouatomovými molekulami, proto bychom mohli použít i hodnotu κ = 1,4)

• Rozbor

  Vzduch v hustilce budeme považovat za ideální plyn. Jestliže stlačení proběhne opravdu prudce, nedojde při něm k tepelné výměně mezi vzduchem a okolím a daný děj můžeme považovat za adiabatický. Z Poissonovy rovnice pro adiabatický děj vyjádříme konečný tlak plynu. Teplotu po stlačení potom získáme ze stavové rovnice pro ideální plyn.

  V obou rovnicích se ale vyskytuje počáteční a konečný objem vzduchu, který neznáme. Vystupuje zde ale jako poměr obou objemů. Tento poměr můžeme vyjádřit z výšky válce a posunutí pístu při stlačení.

• Řešení

  Nejprve si vyjádříme poměr počátečního V₀ a koncového V objemu vzduchu v hustilce. Označme si neznámý obsah podstavy válce S. Potom platí:

  \[ \frac{V_0}{V}\,=\,\frac{lS}{\left(l-d\right)S}\,=\,\frac{l}{\left(l-d\right)}\,. \]

  Prudké stlačení můžeme považovat za adiabatický děj, mezi počátečními a konečnými tlaky a objemy platí Poissonova rovnice:

  \[ p_0V_0^{\kappa}\,=\,pV^{\kappa}. \]

  Odtud vyjádříme neznámý tlak p a dosadíme vyjádření poměrů objemů:

  \[ p\,=\,\frac{p_0V_0^{\kappa}}{V^{\kappa}}\,=\,p_0\frac{V_0^{\kappa}}{V^{\kappa}}\,=\,p_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\kappa}\,=\,p_0\left(\frac{l}{l-d}\right)^{\kappa}. \]

  Koncovou teplotu plynu určíme ze stavové rovnice pro ideální plyn:

  \[ \frac{pV}{T}\,=\,\frac{p_0V_0}{T_0}\,. \]

  Vyjádříme neznámou teplotu plynu T a dosadíme předchozí vztahy:

  \[ T\,=\,\frac{T_0pV}{p_0V_0}\,=\,T_0\,\frac{p}{p_0}\,\frac{V}{V_0}\,=\,T_0\frac{p_0\left(\frac{l}{l-d}\right)^{\kappa}}{p_0}\,\frac{l-d}{l}\,=\,T_0\left(\frac{l}{l-d}\right)^{\kappa -1}. \]

  Po dosazení zadaných hodnot:

  \[ p\,=\,1{,}01325\cdot{10^5}\cdot\left(\frac{50}{50-20}\right)^{1{,}39}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,2{,}1\cdot{ 10^5}\,\mathrm{Pa}, \] \[ T\,=\,293\cdot\left(\frac{50}{50-20}\right)^{1{,}39-1}\,\mathrm{K}\,\dot{=}\,358\,\mathrm{K}\,\Rightarrow\,t\,=\,85\,{}^{\circ}\mathrm{C}. \]

• Odpověď

  Po prudkém stlačení vzroste tlak vzduchu přibližně na dvojnásobek, tj. na hodnotu 2,1·10⁵ Pa, a teplota asi na 85 °C.