Adiabatické stlačení v hustilce

Úloha číslo: 334

V kruhovém válci hustilky je uzavřen vzduch o teplotě 20 °C pístem ve vzdálenosti 50 cm ode dna válce. Jak se změní tlak a teplota tohoto vzduchu, jestliže píst prudce posuneme bez tření o 20 cm směrem ke dnu válce?

  • Nápověda – o jaký děj se jedná

    Prudké stlačení je velmi rychlý děj, takže můžeme předpokládat, že při něm nebude docházet k tepelné výměně mezi vzduchem v hustilce a okolím.

    V takovém případě mluvíme o adiabatickém ději, který popisuje Poissonův zákon.

  • Nápověda – co udělat s neznámými objemy

    Počáteční, ani konečný objem plynu neznáme. Pokud ale vyjádříme konečný tlak z Poissonovy rovnice, zjistíme, že se v něm vyskytuje pouze jejich podíl.

    Podíl objemů je ale stejný jako podíl délky válce hustilky na začátku a na konci stlačování.

  • Zápis

    l = 50 cm počáteční vzdálenost pístu ode dna
    d = 20 cm posunutí pístu
    p = ? tlak vzduchu po stlačení
    t = ? teplota vzduchu po stlačení

    Další údaje:

    pa = 1,01325·105 Pa normální atmosférický tlak
    t0 = 20 °C ⇒ T0 = 293 K počáteční teplota vzduchu
    κ = 1,39 Poissonova konstanta pro vzduch

    (vzduch je složen převážně z plynů s dvouatomovými molekulami, proto bychom mohli použít i hodnotu κ = 1,4)

  • Rozbor

    Vzduch v hustilce budeme považovat za ideální plyn. Jestliže stlačení proběhne opravdu prudce, nedojde při něm k tepelné výměně mezi vzduchem a okolím a daný děj můžeme považovat za adiabatický. Z Poissonovy rovnice pro adiabatický děj vyjádříme konečný tlak plynu. Teplotu po stlačení potom získáme ze stavové rovnice pro ideální plyn.

    V obou rovnicích se ale vyskytuje počáteční a konečný objem vzduchu, který neznáme. Vystupuje zde ale jako poměr obou objemů. Tento poměr můžeme vyjádřit z výšky válce a posunutí pístu při stlačení.

  • Řešení

    Nejprve si vyjádříme poměr počátečního V0 a koncového V objemu vzduchu v hustilce. Označme si neznámý obsah podstavy válce S. Potom platí:

    \[ \frac{V_0}{V}\,=\,\frac{lS}{\left(l-d\right)S}\,=\,\frac{l}{\left(l-d\right)}\,. \]

    Prudké stlačení můžeme považovat za adiabatický děj, mezi počátečními a konečnými tlaky a objemy platí Poissonova rovnice:

    \[ p_0V_0^{\kappa}\,=\,pV^{\kappa}. \]

    Odtud vyjádříme neznámý tlak p a dosadíme vyjádření poměrů objemů:

    \[ p\,=\,\frac{p_0V_0^{\kappa}}{V^{\kappa}}\,=\,p_0\frac{V_0^{\kappa}}{V^{\kappa}}\,=\,p_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\kappa}\,=\,p_0\left(\frac{l}{l-d}\right)^{\kappa}. \]

    Koncovou teplotu plynu určíme ze stavové rovnice pro ideální plyn:

    \[ \frac{pV}{T}\,=\,\frac{p_0V_0}{T_0}\,. \]

    Vyjádříme neznámou teplotu plynu T a dosadíme předchozí vztahy:

    \[ T\,=\,\frac{T_0pV}{p_0V_0}\,=\,T_0\,\frac{p}{p_0}\,\frac{V}{V_0}\,=\,T_0\frac{p_0\left(\frac{l}{l-d}\right)^{\kappa}}{p_0}\,\frac{l-d}{l}\,=\,T_0\left(\frac{l}{l-d}\right)^{\kappa -1}. \]

    Po dosazení zadaných hodnot:

    \[ p\,=\,1{,}01325\cdot{10^5}\cdot\left(\frac{50}{50-20}\right)^{1{,}39}\,\mathrm{Pa}\,\dot{=}\,2{,}1\cdot{ 10^5}\,\mathrm{Pa} \] \[ T\,=\,293\cdot\left(\frac{50}{50-20}\right)^{1{,}39-1}\,\mathrm{K}\,\dot{=}\,358\,\mathrm{K}\,\Rightarrow\,t\,=\,85\,{}^{\circ}\mathrm{C}. \]
  • Odpověď

    Po prudkém stlačení vzroste tlak vzduchu přibližně na dvojnásobek, tj. na hodnotu 2,1·105 Pa a teplota asi na 85 °C.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze