Střední kinetická energie helia

Úloha číslo: 422

Vypočtěte změnu střední kinetické energie molekul hélia o hmotnosti 100 g, dodáme-li mu během izochorického děje teplo 3,5 kJ.

Hélium pokládáme za ideální plyn.

  • Nápověda 1

    Uvědomte si, že se při izochorickém ději nemění objem plynu, a systém tedy nekoná práci. Pro dodané teplo Q tudíž platí, že se veškeré spotřebuje na navýšení vnitřní energie U plynu.

  • Nápověda 2

    Vnitřní energie U ideálního plynu je dána pouze kinetickou energií Ek pohybu jeho molekul.

  • Nápověda 3

    Představte si, že se celé dodané teplo rozdělí rovnoměrně na všechny molekuly plynu. Díky tomu je hledaná změna střední kinetické energie \(\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}\) molekul dána podílem dodaného tepla Q a celkového počtu N molekul nacházejících se v daném množství plynu:

    \[\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {Q}{N}.\]
  • Nápověda 4

    Pro vyjádření počtu N částic v daném množství plynu pomocí zadaných veličin použijte známé vztahy mezi počtem částic, látkovým množstvím n, molární hmotností Mm a hmotností m plynu.

  • Zápis

    m = 100 g = 0,1 kg hmotnost molekul hélia
    Q = 3,5 kJ = 3500 J teplo dodané během izochorického děje

    \(\mathrm{\Delta}\bar{E}_k\) = ?

    změna střední kinetické energie molekul helia

    Z tabulek:

    Mm = 4 g mol−1 = 0,004 kg mol−1 molární hmotnost helia
    NA = 6,023·1023 mol−1 Avogadrova konstanta
  • Rozbor

    Při izochorickém ději se nemění objem plynu, takže systém nekoná práci. To v souladu s 1. termodynamickým zákonem znamená, že se veškeré dodané teplo spotřebuje na navýšení vnitřní energie plynu. Ta je v případě ideálního plynu dána pouze kinetickou energií pohybu jeho molekul.

    Mluvíme-li o změně střední kinetické energie molekul, můžeme si představit, že celé dodané teplo se rozdělí rovnoměrně na všechny molekuly plynu, a díky tomu bude hledaná změna dána podílem dodaného tepla a celkového počtu molekul nacházejících se v daném množství plynu.

    Užitím známých vztahů mezi molární hmotností, hmotností látky, látkovým množstvím a počtem částic nakonec dostaneme výsledný vztah pro hledanou změnu střední kinetické energie molekul.

  • Řešení

    Při izochorickém ději se nemění objem plynu, takže systém nekoná práci. V souladu s 1. termodynamickým zákonem potom platí, že se veškeré dodané teplo Q spotřebuje na navýšení vnitřní energie U plynu, tj.

    \[\mathrm{\Delta}U=Q.\]

    Vnitřní energie je v případě ideálního plynu dána pouze kinetickou energií Ek pohybu jeho molekul.

    My však chceme určit střední kinetickou energii \(\mathrm{\Delta}\bar{E}_k\) molekul. Představme si tedy, že se celé dodané teplo rozdělí rovnoměrně na všechny molekuly plynu, a díky tomu je hledaná změna dána podílem dodaného tepla Q a celkového počtu N molekul nacházejících se v daném množství plynu. Platí tedy vztah

    \[\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {Q}{N}.\]

    Počet molekul ovšem neznáme. Musíme ho ještě vyjádřit pomocí zadaných veličin. Zapíšeme ho jako součin látkového množství n plynu a Avogadrovy konstanty NA. Platí tedy

    \[ \mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {Q}{N}=\frac{Q}{nN_A}.\]

    Látkové množství n plynu je definováno vztahem

    \[n=\frac{m}{M_m},\]

    kde m je hmotnost plynu a Mm jeho molární hmotnost.

    Po dosazení a úpravě dostáváme pro hledanou změnu střední kinetické energie molekul vztah

    \[\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {QM_m}{mN_A}.\]
  • Číselné dosazení

    \[ \mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {QM_m}{mN_A}=\frac {3500\cdot{0{,}004}}{0{,}1\cdot{6{,}023}\cdot{10^{23}}}\,\mathrm{J}\dot{=}2{,}3\cdot{10^{-22}}\,\mathrm{J} \]
  • Odpověď

    Střední kinetická energie jedné molekuly hélia se dodáním tepla zvýšila přibližně o 2,3·10−22 J.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze