Střední kinetická energie helia
Úloha číslo: 422
Vypočtěte změnu střední kinetické energie molekul hélia o hmotnosti 100 g, dodáme-li mu během izochorického děje teplo 3,5 kJ.
Hélium pokládáme za ideální plyn.
Nápověda 1
Uvědomte si, že se při izochorickém ději nemění objem plynu, a systém tedy nekoná práci. Pro dodané teplo Q tudíž platí, že se veškeré spotřebuje na navýšení vnitřní energie U plynu.
Nápověda 2
Vnitřní energie U ideálního plynu je dána pouze kinetickou energií Ek pohybu jeho molekul.
Nápověda 3
Představte si, že se celé dodané teplo rozdělí rovnoměrně na všechny molekuly plynu. Díky tomu je hledaná změna střední kinetické energie \(\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}\) molekul dána podílem dodaného tepla Q a celkového počtu N molekul nacházejících se v daném množství plynu:
\[\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {Q}{N}.\]Nápověda 4
Pro vyjádření počtu N částic v daném množství plynu pomocí zadaných veličin použijte známé vztahy mezi počtem částic, látkovým množstvím n, molární hmotností Mm a hmotností m plynu.
Zápis
m = 100 g = 0,1 kg hmotnost molekul hélia Q = 3,5 kJ = 3500 J teplo dodané během izochorického děje \(\mathrm{\Delta}\bar{E}_k\) = ?
změna střední kinetické energie molekul helia
Z tabulek:
Mm = 4 g mol−1 = 0,004 kg mol−1 molární hmotnost helia NA = 6,023·1023 mol−1 Avogadrova konstanta Rozbor
Při izochorickém ději se nemění objem plynu, takže systém nekoná práci. To v souladu s 1. termodynamickým zákonem znamená, že se veškeré dodané teplo spotřebuje na navýšení vnitřní energie plynu. Ta je v případě ideálního plynu dána pouze kinetickou energií pohybu jeho molekul.
Mluvíme-li o změně střední kinetické energie molekul, můžeme si představit, že celé dodané teplo se rozdělí rovnoměrně na všechny molekuly plynu, a díky tomu bude hledaná změna dána podílem dodaného tepla a celkového počtu molekul nacházejících se v daném množství plynu.
Užitím známých vztahů mezi molární hmotností, hmotností látky, látkovým množstvím a počtem částic nakonec dostaneme výsledný vztah pro hledanou změnu střední kinetické energie molekul.
Řešení
Při izochorickém ději se nemění objem plynu, takže systém nekoná práci. V souladu s 1. termodynamickým zákonem potom platí, že se veškeré dodané teplo Q spotřebuje na navýšení vnitřní energie U plynu, tj.
\[\mathrm{\Delta}U=Q.\]Vnitřní energie je v případě ideálního plynu dána pouze kinetickou energií Ek pohybu jeho molekul.
My však chceme určit střední kinetickou energii \(\mathrm{\Delta}\bar{E}_k\) molekul. Představme si tedy, že se celé dodané teplo rozdělí rovnoměrně na všechny molekuly plynu, a díky tomu je hledaná změna dána podílem dodaného tepla Q a celkového počtu N molekul nacházejících se v daném množství plynu. Platí tedy vztah
\[\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {Q}{N}.\]Počet molekul ovšem neznáme. Musíme ho ještě vyjádřit pomocí zadaných veličin. Zapíšeme ho jako součin látkového množství n plynu a Avogadrovy konstanty NA. Platí tedy
\[ \mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {Q}{N}=\frac{Q}{nN_A}.\]Látkové množství n plynu je definováno vztahem
\[n=\frac{m}{M_m},\]kde m je hmotnost plynu a Mm jeho molární hmotnost.
Po dosazení a úpravě dostáváme pro hledanou změnu střední kinetické energie molekul vztah
\[\mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {QM_m}{mN_A}.\]Číselné dosazení
\[ \mathrm{\Delta}\bar{E}_{k}=\frac {QM_m}{mN_A}=\frac {3500\cdot{0{,}004}}{0{,}1\cdot{6{,}023}\cdot{10^{23}}}\,\mathrm{J}\dot{=}2{,}3\cdot{10^{-22}}\,\mathrm{J} \]Odpověď
Střední kinetická energie jedné molekuly hélia se dodáním tepla zvýšila přibližně o 2,3·10−22 J.
