Sbírka řešených úloh

Práce parního stroje

Úloha číslo: 428

• Nápověda 1

  Největší účinnost bude mít parní stroj pracující podle Carnotova cyklu.

• Nápověda 2

  Připomeňte si, jak je definována účinnost tepelného stroje (obecně) a účinnost Carnotova stroje.

• Účinnost tepelného cyklu

  Účinnost η tepelného stroje je definována vztahem

  \[\eta=\frac{W}{Q_1},\]

  kde W je vykonaná práce a Q₁ dodané teplo za jeden cyklus. Vykonanou práci W můžeme také vyjádřit jako rozdíl tepla dodaného ohřívačem Q₁ a tepla odevzdaného chladiče Q₂. Potom pro účinnost η platí

  \[\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}.\]

• Účinnost Carnotova cyklu

  Účinnost Carnotova stroje je dána vztahem

  \[\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\]

  kde T₁ je teplota ohřívače a T₂ teplota chladiče.

• Rozbor

  Nejprve si napíšeme účinnost tepelného stroje jako podíl vykonané práce a dodaného tepla.

  Maximální účinnost bude mít stroj, pokud by pracoval podle Carnotova cyklu, v takovém případě by vykonal i maximální práci při stejném dodaném teplu. Účinnost Carnotova stroje závisí pouze na teplotách, mezi kterými pracuje.

  Srovnáním obou vyjádření účinnosti získáme výraz, z něhož vyjádříme vykonanou práci.

• Zápis

  t1 = 120 °C => T1 = 393 K	teplota páry (ohřívače)
  t2 = 40 °C => T2 = 313 K	teplota chladiče
  Q = 4,2 kJ = 4,2·103 J	spotřeba tepla
  W = ?	maximální práce vykonaná strojem

• Řešení

  Účinnost η tepelného stroje je definována jako podíl vykonané práce W a dodaného tepla Q. Platí tedy vztah

  \[\eta=\frac{W}{Q}.\]

  Maximální účinnosti dosahuje při tzv. Carnotově cyklu, kdy účinnost η závisí pouze na teplotě ohřívače T₁ a teplotě chladiče T₂, a to vztahem

  \[\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}.\]

  V našem případě odpovídá teplotě ohřívače teplotě páry ve válci parního stroje.

  Srovnáním obou uvedených vztahů pro účinnost získáme rovnici

  \[\frac{W}{Q}=\frac{T_1-T_2}{T_1}.\]

  Z ní již můžeme snadno vyjádřit hledanou práci:

  \[W=\frac{Q\left(T_1-T_2\right)}{T_1}.\]

• Číselné dosazení

  \[W=\frac{Q\left(T_1-T_2\right)}{T_1}= \frac{4{,}2\cdot{ 10^3}\cdot \left(393-313\right)}{393}\,\mathrm{J}\dot{=}850\,\mathrm{J}\]

• Odpověď

  Maximální vykonaná práce je přibližně 850 J.