Chladící stroj
Úloha číslo: 429
Určete práci, kterou musíme dodat chladícímu stroji pracujícímu na principu obráceného Carnotova cyklu, jestliže v prostředí o teplotě 20 °C chceme zmrazit 1 kg vody téže teploty na led o teplotě 0 °C.
Nápověda 1 – celková práce
Celková práce Wc, kterou musíme dodat chladícímu stroji, se skládá z práce W potřebné k ochlazení vody na teplotu tání a práce Wt nutné k přeměně vody na led.
Nápověda 2 – ochlazení látky
Pro práci W potřebnou k ochlazení látky platí vztah
\[W=\eta Q,\]kde η je účinnost stroje a Q odebírané teplo.
Připomeňte si, jak spočítat teplo, tkeré je nutné odebrat vodě, a vzorec pro účinnost Carnotova stroje. Je účinnost v průběhu ochlazování látky účinnost stroje konstantní? Pokud ne, jaký to bude mít vliv na výpočet práce W?
Nápověda 3 – přeměna vody na led
Při výpočtu práce Wt potřebné k přeměně vody na led vyjdeme ze stejného vzorce jako při výpočtu práce W:
\[W_t=\eta Q.\]Jaký vztah platí pro teplo Q nyní? Mění se také v průběhu přeměny vody na led účinnost η stroje?
Zápis
m = 1 kg hmotnost vody t1 = 0 °C => T1 = 273 K teplota ledu t2 = 20 °C => T2 = 293 K teplota prostředí Wc = ? práce dodaná chladícímu stroji Z tabulek:
cv = 4180 J kg K−1 měrná tepelná kapacita vody lt = 334 kJ kg−1 = 334·103 J kg−1 měrné skupenské teplo tání vody Rozbor
Celková dodaná práce je dána součtem práce potřebné k ochlazení vody na teplotu tání a práce nutné k přeměně vody na led.
Práce potřebná k ochlazení vody je definována jako součin účinnosti stroje a odebíraného tepla. Toto teplo si napíšeme jako součin hmotnosti vody, její měrné tepelné kapacity a změny její teploty. Účinnost závisí na teplotě vody a prostředí. Teplota vody se však v průběhu ochlazování mění. Účinnost tedy není konstantní, a při výpočtu práce potřebné k ochlazení vody musíme použít integrální počet.
V případě přeměny vody na led je výpočet jednodušší. Pro práci nutnou k této přeměně sice také platí, že je rovna součinu účinnosti stroje a odebíraného tepla. Teplota vody se však v průběhu přeměny nemění, a účinnost je tedy konstantní. Teplo je zde definováno jako součin hmotnosti vody a jejího měrného skupenského tepla tání.
Řešení
Celková práce Wc, kterou musíme dodat chladícímu stroji, je rovna součtu práce W potřebné k ochlazení vody na teplotu tání a práce Wt nutné k přeměně vody na led, tj.
\[W_c=W+W_t.\]Práce W, jíž je nutno dodat k ochlazení látky, souvisí s odebíraným teplem Q vztahem
\[W=\eta Q.\]Zde η je účinnost stroje
\[\eta=\frac{T_p-T}{T},\]kde T je teplota látky a Tp teplota okolního prostředí.
Okamžitě vidíme, že energetická náročnost chlazení roste s rozdílem uvedených teplot.
Účinnost η je však funkcí okamžité teploty látky T, která se v průběhu chladícího procesu pochopitelně mění. Uvažujme tedy nejprve, jakou práci dW budeme muset dodat stroji k ochlazení vody teploty T o hodnotu dT. Bude platit:
\[\text{d}W=\eta \,\text{d}Q=\frac{T_p-T}{T}mc_v\,\text{d}T\]kde dQ vyjadřuje elementární teplo odebrané látce.
Celkovou dodanou práci při ochlazení vody na teplotu T1 pak určíme integrací uvedeného vztahu v příslušných mezích, jimiž je koncová T1 a počáteční T2 = Tp teplota vody:
\[W=\int \text{d}W = \int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{T_2-T}{T}mc_v\,\text{d}T =\]vytkneme konstanty před integrál
\[ =mc_v \int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{T_2-T}{T}\,\text{d}T=\]upravíme výraz v integrálu a dostaneme dva jednodušší integrály
\[=-mc_v\int\limits_{T_1}^{T_2}\text{d}T + mc_vT_2\int\limits_{T_1}^{T_2}\frac{\text{d}T}{T}=\]vše zintegrujeme a dosadíme meze
\[= -mc_v\left[T\right]_{T_1}^{T_2} + mc_vT_2\left[\ln{T}\right]_{T_1}^{T_2}=\] \[=-mc_v\left(T_2-T_1\right)+mc_vT_2\ln{\frac{T_2}{T_1}}=\]a po úpravě dostaneme
\[=mc_v\left[T_1+T_2\left(\ln{\frac{T_2}{T_1}\,-1}\right)\right].\]Nyní musíme ještě vypočítat, kolik energie Wt zvnějšku je třeba dodat k tomu, aby se voda přeměnila na led. Tento výpočet je již podstatně jednodušší, neboť tuhnutí probíhá při konstantní teplotě T1. Bude platit:
\[W_t=\eta Q=\frac{T_2-T_1}{T_1}ml_t,\]kde lt je měrné skupenské teplo tání vody.
Pro celkovou práci, kterou musíme dodat chladícímu stroji, pak platí
\[W_c=W+W_t\] \[W_c=mc_v\left[T_1+T_2\left(\ln{\frac{T_2}{T_1}\,-1}\right)\right]+ \frac{T_2-T_1}{T_1}ml_t.\]Číselné dosazení
\[W_c=mc_v\left[T_1+T_2\left(\ln{\frac{T_2}{T_1}}\,-1\right)\right]+ \frac{T_2-T_1}{T_1}ml_t\] \[W_c=1\cdot{4180}\cdot\left[273+293\cdot\left(\ln{\frac{293}{273}}\,-1\right)\right]+ \frac{293-273}{273}\cdot1\cdot{334}\cdot{10^3}\,\mathrm{J}\] \[W_c\dot{=}27459\,\mathrm{J}\dot{=}27\,\mathrm{kJ}\]Odpověď
Musíme dodat práci o velikosti přibližně 27 kJ.
