Teplo odebrané dusíku
Úloha číslo: 398
Kolik tepla je nutné odebrat 56 g dusíku, abychom ho při teplotě 300 K izotermicky stlačili z tlaku 100 kPa na tlak 500 kPa?
Pozn.: Dusík považujte za ideální plyn.
Nápověda 1
Uvědomte si, že při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie ideálního plynu, a tudíž bude odebrané teplo rovno práci vykonané okolím při stlačování dusíku, resp. absolutní hodnotě práce vykonané dusíkem (při stlačování vyjde práce plynu záporná).
Nápověda 2
Práci musíme počítat pomocí integrálu, protože tlak není konstantní.
Nápověda 3
K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V (a naopak) lze použít tzv. Boyle-Mariottův zákon pro izotermický děj.
Nápověda 4
Pro vyjádření neznámého počátečního V1 a konečného V2 objemu použijte stavovou rovnici ideálního plynu.
Rozbor
Protože se při konstantní teplotě nemění vnitřní energie, dostaneme z 1. termodynamického zákona, že se odebrané teplo rovná absolutní hodnotě práce vykonané dusíkem při jeho stlačování. Pro její výpočet musíme použít integrální počet, protože tlak ani objem nejsou konstantní.
Tlak dusíku jako funkci objemu vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu.
Pro vyjádření neznámého počátečního a koncového objemu nakonec použijeme stavovou rovnici ideálního plynu.
Zápis
m = 56 g = 0,056 kg hmotnost dusíku T = 300 K teplota dusíku p1 = 100 kPa = 1·105 Pa počáteční tlak dusíku p2 = 500 kPa = 5·105 Pa konečný tlak dusíku Q = ? odebrané teplo Z tabulek:
Mm = 28 g mol−1 molární hmotnost dusíku N2 R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta Řešení
Při izotermickém ději se nemění vnitřní energie plynu, což v souladu s 1. termodynamickým zákonem znamená, že odebrané teplo Q bude rovno práci W' vykonané okolím při stlačování plynu, resp. absolutní hodnotě práce W vykonané plynem (ta je při stlačování záporná). Platí
\[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V,\]kde V1 a V2 jsou počáteční a konečný objem plynu a p je tlak plynu, který se v průběhu stlačení mění (je funkcí objemu).
K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V využijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon, podle něhož platí:
\[p_1V_1=pV.\]Odtud ihned vyjádříme tlak p:
\[p = \frac{p_1V_1}{V}.\]Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:
\[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\, \text{d}V = \]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=p_1V_1[\ln V]_{V_1}^{V_2} = p_1V_1 \ln \frac{V_2}{V_1}.\]Ještě vyjádříme neznámý počáteční V1 a koncový V2 objem ze stavové rovnice ideálního plynu
\[p_1V_1=\frac{m}{M_m}RT \qquad \Rightarrow \qquad V_1=\frac{mRT}{p_1M_m},\] \[p_2V_2=\frac{m}{M_m}RT \qquad \Rightarrow \qquad V_2=\frac{mRT}{p_2M_m}.\]Dosazením dostáváme
\[W=p_1\frac{mRT}{p_1M_m}\,\ln{\frac{\frac{mRT}{p_2M_m}}{\frac{mRT}{p_1M_m}}}=\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_1}{p_2}}.\]Pro odebrané teplo Q potom platí vztah
\[Q= -W =-\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_1}{p_2}} =\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_2}{p_1}}.\]Číselné dosazení
\[Q=\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_2}{p_1}}=\frac{0{,}056\cdot{8{,}31}\cdot{300}}{0{,}028}\cdot \ln{\frac{500}{100}}\,\mathrm{J}\dot{=}8025\,\mathrm{J}\dot{=}8\,\mathrm{kJ}\]Odpověď
Je třeba odebrat teplo o velikosti přibližně 8 kJ.
Alternativní řešení
Jak je uvedeno v řešení této úlohy, odebrané teplo Q je rovno absolutní hodnotě práce vykonané dusíkem při jeho stlačení. Pro tuto práci platí vztah
\[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V,\]kde V1 a V2 jsou počáteční a konečný objem plynu a p je tlak plynu.
Vzhledem k tomu, že známe počáteční a koncový tlak dusíku, nikoli jeho objem, přepíšeme uvedený vztah tak, aby se práce počítala pomocí objemu jako funkce tlaku.
Vyjdeme ze stavové rovnice
\[pV=nRT,\]kterou následně zdiferencujeme:
\[p\,\text{d}V+V\text{d}p=nR\,\text{d}T.\]Protože se jedná o izotermický děj, můžeme položit dT = 0 a dostaneme
\[p\,\text{d}V=-V\text{d}p. \]Dosadíme-li toto vyjádření do původního integrálního vztahu pro práci a upravíme-li meze integrálu, získáme výraz
\[W=-\int\limits_{p_1}^{p_2}V\, \text{d}p,\]kde p1 a p2 jsou počáteční a konečný tlak plynu.
Nyní musíme objem V vyjádřit jako funkci tlaku p. K tomu využijeme Boyle–Mariottův zákon
\[p_1V_1=pV, \]odkud vyjádříme objem V:
\[V=\frac{p_1V_1}{p}.\]Neznámý počáteční objem V1 vypočítáme ze stavové rovnice ideálního plynu
\[p_1V_1=\frac{m}{M_m}RT. \]Tudíž
\[V_1=\frac{mRT}{p_1M_m}.\]Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:
\[W=-\int\limits_{p_1}^{p_2}V\, \text{d}p = -\int\limits_{p_1}^{p_2}\frac{p_1V_1}{p}\text{d}p = -\int\limits_{p_1}^{p_2}\frac{p_1mRT}{pp_1M_m}\text{d}p = \]vytkneme konstanty před integrál
\[=-\frac{mRT}{M_m}\int\limits_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}\text{d}p = \]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=-\frac{mRT}{M_m}\,\left[\ln p\right]_{p_1}^{p_2}= -\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_2}{p_1}}.\]Pro odebrané teplo Q potom platí
\[Q=-W=\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_2}{p_1}},\]což je stejný vztah jako ten, který jsme dostali v části Řešení.
