Natahování tyče při jejím chladnutí

Úloha číslo: 465

Ocelovou tyč o průřezu 2 cm2 zahřejeme z teploty 0 °C na teplotu 50 °C. Pak ji ochladíme na původní teplotu.

Spočtěte, jakou nejmenší silou působící ve směru osy tyče je třeba tyč natahovat, aby se při ochlazení nezkrátila. Youngův modul pružnosti pro jednoduchost pokládáme v uvažovaném teplotním intervalu za konstantní.

Poznámka: Koeficient tepelné roztažnosti oceli je přibližně stejný jako u železa.

  • Nápověda

    Abychom zabránili tomu, že se tyč zkrátí na původní délku, musíme ji natahovat stejně velkou silou, jako kdybychom ji při teplotě 0 °C chtěli natáhnout z původní délky na délku, jakou měla při teplotě 50 °C.

  • Rozbor

    Prodloužení zahřívané tyče je přímo úměrné rozdílu teplot. Při ochlazování se tyč bude zkracovat opět na svou původní délku. Pokud jí v tom chceme zabránit, musíme ji natahovat stejně velkou silou, jakou bychom natahovali tyč z původní délky na délku, kterou měla při ohřátí na teplotu 50 °C. Toto natahování se řídí Hookovým zákonem pro deformaci v tahu.

  • Zápis

    S = 2 cm2 = 2·10−4 m2 průřez tyče
    t0 = 0 °C počáteční teplota tyče
    t1 = 50 °C teplota tyče po zahřátí
    F = ? síla, kterou musíme působit

    Z tabulek:

    α = 12·10−6 °C−1 koeficient tepelné roztažnosti oceli
    E = 21·1010 Pa Youngův modul pružnosti oceli
  • Řešení

    Při ohřátí se tyč prodlouží, přičemž toto prodloužení Δl je přímo úměrné změně teploty Δt = t1t0 podle vzorce

    \[ \mathrm{\Delta} l=l_0 \alpha\mathrm{\Delta}t =l_0\alpha(t_1-t_0), \]

    kde l0 je počáteční délka tyče a α koeficient teplotní roztažnosti.

    Po ochlazení na původní teplotu by se tyč chtěla opět zkrátit na svoji počáteční délku l0. Pokud tomu chceme zabránit, musíme tyč natahovat stejnou silou jako kdybychom ji chtěli natáhnout z délky l0 na délku l0l.

    Podle Hookova zákona pro pružnou deformaci tahem je síla F nutná k relativnímu prodloužení tyče ε přímo úměrná tomuto prodloužení. Hookův zákon zní:

    \[ \sigma=E\varepsilon, \]

    kde konstantou úměrnosti je Youngův model pružnosti E a σ je normálové napětí vyvolané silou F a definované jako

    \[\sigma=\frac{F}{S}\]

    a relativní prodloužení ε je definováno vztahem

    \[\varepsilon=\frac{\mathrm{\Delta}l}{l_0}.\]

    Po dosazení za σε do Hooková zákona dostáváme:

    \[\frac{F}{S}=E\,\varepsilon\qquad\Rightarrow\qquad F=E\,S\,\varepsilon=E\,S\,\frac{\mathrm{\Delta}l}{l_0}.\]

    Nyní můžeme ještě dosadit za Δl a získáváme tak koneční vztah:

    \[F=E\,S\,\frac{\mathrm{\Delta}l}{l_0}=E\,S\,\frac{l_0\,\alpha\,\left(t_1-t_0\right)}{l_0}=E\,S\,\alpha\,\left(t_1-t_0\right).\]

    Povšimněte si, že potřebná síla nezávisí na původní délce tyče, proto nevadí, že ji nemáme zadanou.

     

    Číselné dosazení:

    \[F=E\,S\,\alpha\,\left(t_1-t_0\right)=21\cdot{10^{10}}\cdot2\cdot{10^{-4}}\cdot{12}\cdot{10^{-6}}\,\left(50-0\right)\,\mathrm{N}=\] \[=25\,200\,\mathrm{N}=25{,}2\,\mathrm{kN}\]
  • Odpověď

    Aby se tyč při ochlazování nezkrátila, je třeba ji natahovat silou 25,2 kN.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze