Měření závodní dráhy pásmem
Úloha číslo: 365
Délka závodní dráhy pro běh na 100 m byla naměřena ocelovým pásmem při teplotě 32 °C. O kolik se liší skutečná vzdálenost, kterou běžci poběží, od 100 m?
Pozn. Pásmo bylo kalibrováno při teplotě 20 °C.
Zápis
l = 100 m naměřená dráha t = 32 °C teplota při měření t0 = 20 °C teplota kalibrace pásma Δl = ? rozdíl mezi skutečnou a udávanou teplotou Z tabulek α = 12·10−6K−1 teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli (železa) při 20 °C Rozbor
Pásmo má správnou délku při teplotě 20 °C. Při vyšších teplotách se díky délkové roztažnosti jeho délka zvětší. Použijeme-li toto měřidlo při vyšší teplotě pro vyznačení určité vzdálenosti, odměříme ve skutečnosti vzdálenost o něco delší. Námi naměřená vzdálenost bude odpovídat vzdálenostem značky 0 a 100 m na pásmu při zadané teplotě.
Řešení
Tomu, že se látky se s teplotou roztahují, říkáme teplotní délková roztažnost a pro změnu délky platí vztah
\[l=l_0\left(1+\alpha\Delta t\right)\]kde l je délka při teplotě t, l0 je délka při tzv. vztažné teplotě t0. K této vztažné teplotě je určena konstanta α charakterizující materiál (tzv. teplotní součinitel délkové roztažnosti). Δt = t – t0 je změna teploty.
V našem případě známe obě teploty a délku při vztažné teplotě (zde využijeme toho, že kalibrace pásma proběhla při stejné teplotě, ke které je vztažena hodnota součinitele teplotní délkové roztažnosti uvedená v tabulkách).
Zajímá nás změna délky daná teplotou, tj.
\[\Delta l=l-l_0=l_0\left(1+\alpha \Delta t\right)-l_0=l_0\alpha\Delta t.\]Zadané hodnoty dosadíme do uvedeného vztahu a dostaneme
\[\Delta l=100\cdot{12}\cdot{10^{-6}}\cdot\left(32-20\right)\,\mathrm{m}=1{,}4\cdot{10^{-2}}\,\mathrm{m}=1{,}4\,\mathrm{cm}.\]Odpověď
Naměřená dráha bude delší o 1,4 cm.
Komentář
V případě, že by bylo pásmo kalibrováno při jiné teplotě, než ke které je vztažen součinitel délkové roztažnosti, museli bychom úlohu počítat ve dvou krocích. Nejprve bychom si určili délku pásma při vztažné teplotě a potom teprve jeho délku při teplotě měření.
