Porovnání dvou závěsů

Úloha číslo: 370

Na obrázku je na ocelovém lanku zavěšeno závaží. Totéž závaží je zavěšeno na dvou lankách poloviční délky. Porovnejte relativní a absolutní podélné prodloužení lanka.

obrázek k zadání
  • Řešení úvahou

    Předpokládejme, že působící síla nevytvoří v žádném lanku napětí větší, než je modul pružnosti oceli, a že se tedy bude jednat o pružnou deformaci, pro kterou platí Hookův zákon.

    Relativní prodloužení lanka je přímo úměrné normálovému napětí, které je úměrné působící síle, protože lanka mají stejný obsah průřezu. V druhém případě, kdy těleso visí na dvou lankách, je působící síla poloviční než v prvním případě, proto i relativní prodloužení bude v druhém případě poloviční v porovnání s prvním případem.

    Absolutní prodloužení je dáno součinem relativního prodloužení a původní délky lanka. Protože relativní prodloužení i původní délka jsou v druhém případě poloviční než v prvním, bude absolutní prodloužení v druhém případě čtyřikrát menší než v případě prvním.

  • Řešení výpočtem

    Použijeme Hookův zákon:

    \[\sigma = E \varepsilon,\]

    kde E je modul pružnosti oceli v tahu. Normálové napětí σ vyjádříme jako podíl velikosti působící síly F a obsahu průřezu lanka S:

    \[\sigma = \frac{F}{S}.\]

    Relativní prodloužení ε je definováno jako podíl absolutního prodloužení Δl a původní délky lanka l:

    \[\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} \,.\]

    Po dosazení těchto vztahů do Hookova zákona a můžeme vyjádřit vztah pro relativní prodloužení ε:

    \[\frac{F}{S}= E \varepsilon\, \Rightarrow \, \varepsilon = \frac{F}{SE} \]

    a následně i pro absolutní prodloužení Δl:

    Mezi délkami lanek v prvním a druhém případě platí vztah l1 = 2l2 a mezi velikostmi působících sil platí F1 = 2F2. Obsah průřezu S i modul pružnosti E je v obou případech stejný. Dosadíme tyto vztahy do výpočtu podílu prodloužení v obou případech.

    \[\frac{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}=\frac{\frac{F_1}{SE}}{\frac{F_2}{SE}} = \frac{F_1}{F_2}=\frac{2F_2}{F_2}=\frac{2}{1} ,\] \[\frac{\Delta l _1}{\Delta l_2}=\frac{\frac{F_1 l_1}{SE}}{\frac{F_2 l_2}{SE}} = \frac{F_1 l_1}{F_2 l_2}=\frac{2F_2 2l_2}{F_2 l_2}=\frac{4}{1}. \]
  • Odpověď

    Relativní prodloužení lanka je dvojnásobné a absolutní prodloužení čtyřnásobné v prvním případě než v případě druhém.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha řešená úvahou
Úloha na porovnávání a rozlišování
Zaslat komentář k úloze