Práce vodíku

Úloha číslo: 374

Vodík je dvouatomový plyn, jehož molární tepelná kapacita při stálém objemu je

\[C_V =\frac{5}{2}R.\]

Vyplňuje objem 100 cm3 při tlaku 51 kPa. Určete práci, kterou tento plyn vykoná, expanduje-li na pětinásobný objem

a) izotermicky,

b) adiabaticky.

Pozn.: Vodík považujte za ideální plyn.

  • Zápis

    V1 = 100 cm3 = 100·10−6 m3 počáteční objem vodíku
    p1 = 51 kPa = 51·103 Pa počáteční tlak vodíku
    V2 = 5V1 objem po expanzi
    \(C_V =\frac{5}{2}R\) molární tepelná kapacita vodíku při stálém objemu
    Wi = ? práce vykonaná při izotermické expanzi
    Wa = ? práce vykonaná při adiabatické expanzi
  • Nápověda

    Rozmyslete si, jak spočítat práci vodíku, pokud je tlak funkcí objemu.

  • Nápověda a) – vyjádření tlaku

    K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V pro případ izotermického děje použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

  • Rozbor a)

    Pro výpočet práce vodíku musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.

    Tlak vodíku vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem vodíku.

  • Řešení a)

    Při konstantním tlaku platí pro vykonanou práci vzorec W = p(V2 − V1).

    V našem případě však tlak konstantní není, což znamená, že musíme použít obecnější vztah

    \[W_i = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V,\]

    kde V1 je počáteční objem vodíku a V2 jeho objem po expanzi.

    Proto nyní musíme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V. K tomu nám pomůže jednoduchý důsledek stavové rovnice pro izotermické děje zvaný Boyle-Mariottův zákon, podle něhož platí:

    \[p_1V_1 = pV. \]

    Odtud ihned vyjádříme tlak p:

    \[p = \frac{p_1V_1}{V}.\]

    Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci

    \[W_i = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{1}{V}\, \text{d}V = \]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[=p_1V_1[\ln\,V]_{V_1}^{5V_1} = p_1V_1\,\ln \frac{5V_1}{V_1}= p_1V_1\,\ln 5.\]
  • Nápověda b) – vyjádření tlaku

    K vyjádření tlaku p jako funkce objemu V v případě adiabatického děje použijte Poissonův zákon.

  • Nápověda b) – výpočet Poissonovy konstanty

    K výpočtu Poissonovy konstanty κ můžete využít vztah

    \[\kappa = \frac{C_p}{C_V},\]

    kde Cp je molární tepelná kapacita při stálém tlaku a CV je molární tepelná kapacita při stálém objemu, a platí mezi nimi tzv. Meyerův vztah

    \[C_p=C_V+R,\]

    kde R je molární plynová konstanta.

  • Rozbor b)

    Stejně jako v předchozí části úlohy i zde pro výpočet práce vodíku musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.

    Tlak vodíku tentokrát vyjádříme z Poissonova zákona, platného pro adiabatické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu opět použijeme počáteční a koncový objem vodíku.

    Nakonec bude ještě třeba spočítat Poissonovu konstantu. K tomu využijeme Meyerův vztah a vztah mezi Poissonovou konstantou, molární tepelnou kapacitou při stálém tlaku a při stálém objemu.

  • Řešení b)

    Opět budeme vzhledem k nekonstantnosti tlaku používat pro výpočet práce plynu Wa vzorec

    \[W_a = \int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V,\]

    kde V1 je počáteční objem vodíku a V2 jeho objem po expanzi.

    K vyjádření tlaku p jako funkce objemu V nám tentokrát pomůže Poissonův zákon platící pro adiabatické (tepelně izolované) děje, podle kterého platí:

    \[p_1V_{1}^{\kappa} = pV^{\kappa}. \]

    Odtud ihned můžeme vyjádřit tlak p:

    \[p = \frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}}.\]

    Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci

    \[W_a = \int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[= p_1V_1^{\kappa} \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{1}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[= p_1V_1^{\kappa}\frac{1}{-\kappa + 1}\left[V^{-\kappa + 1}\right]_{V_1}^{5V_1}= \frac{p_1V_1^{\kappa}}{-\kappa + 1}\left[(5V_1)^{-\kappa + 1} - V_1^{-\kappa + 1}\right].\]

    Po úpravě potom dostaneme

    \[W_a = p_1V_1\,\frac{5^{\kappa-1}-1}{\kappa-1}.\]

    V tomto vztahu ovšem ještě neznáme Poissonovu konstantu κ daného plynu. K jejímu určení nám pomůže jednak její definiční vztah

    \[\kappa = \frac{C_p}{C_V},\]

    kde Cp je molární tepelná kapacita při stálém tlaku a CV molární tepelná kapacita při stálém objemu, a jednak Meyerův vztah

    \[C_p = C_V + R,\]

    kde R je molární plynová konstanta.

    Po dosazení získáváme

    \[\kappa = \frac{C_V + R}{C_V} = \frac{\frac{5}{2}R + R}{\frac{5}{2}R} = \frac{7}{5}.\]

    Získanou hodnotu Poissonovy konstanty κ dosadíme do vztahu pro práci

    \[W_a = p_1V_1\,\frac{5\cdot(5^{2/5}-1)}{2}.\]
  • Číselné dosazení

    a) práce při izotermické expanzi

    \[W_i = p_1V_1 \ln\,5 = 51\cdot{10^3}\cdot 100\cdot{10^{-6}}\cdot \ln\,5\, \,\mathrm{J} \dot{=} 8{,}21\, \mathrm{J}\]

    b) práce při adiabatické expanzi

    \[W_a = p_1V_1\,\frac{5\cdot(5^{2/5}-1)}{2} = 51\cdot{10^3}\cdot 100\cdot{10^{-6}}\cdot \frac{5\cdot(5^{2/5}-1)}{2}\, \mathrm{J} \] \[W_a \dot{=} 6{,}05\, \mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Při izotermické expanzi plyn vykoná práci asi 8,21 J, při adiabatické pak přibližně 6,05 J.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze