Sbírka řešených úloh

Práce vodíku

Úloha číslo: 374

• Zápis

  V1 = 100 cm3 = 100·10−6 m3	počáteční objem vodíku
  p1 = 51 kPa = 51·103 Pa	počáteční tlak vodíku
  V2 = 5V1	objem po expanzi
  \(C_V =\frac{5}{2}R\)	molární tepelná kapacita vodíku při stálém objemu
  Wi = ?	práce vykonaná při izotermické expanzi
  Wa = ?	práce vykonaná při adiabatické expanzi

• Nápověda

  Rozmyslete si, jak spočítat práci vodíku, pokud je tlak funkcí objemu.

• Řešení nápovědy

  Protože tlak p v této úloze není konstantní, ale je funkcí objemu, tj. p(V), musíme pro výpočet práce použít integrální počet, a tudíž pro vykonanou práci platí vztah

  \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)\, \text{d}V,\]

  kde V₁ je počáteční a V₂ koncový objem vodíku.

• Nápověda a) – vyjádření tlaku

  K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V pro případ izotermického děje použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

• Boyle-Mariottův zákon

  Podle Boyle-Mariottova zákona platí:

  \[pV=konst,\]

  kde p je tlak a V objem plynu při izotermickém ději.

• Rozbor a)

  Pro výpočet práce vodíku musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.

  Tlak vodíku vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem vodíku.

• Řešení a)

  Při konstantním tlaku platí pro vykonanou práci vzorec W = p(V₂ − V₁).

  V našem případě však tlak konstantní není, což znamená, že musíme použít obecnější vztah

  \[W_i = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V,\]

  kde V₁ je počáteční objem vodíku a V₂ jeho objem po expanzi.

  Proto nyní musíme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V. K tomu nám pomůže jednoduchý důsledek stavové rovnice pro izotermické děje zvaný Boyle-Mariottův zákon, podle něhož platí:

  \[p_1V_1 = pV. \]

  Odtud ihned vyjádříme tlak p:

  \[p = \frac{p_1V_1}{V}.\]

  Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci

  \[W_i = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]

  vytkneme konstanty před integrál

  \[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{1}{V}\, \text{d}V = \]

  zintegrujeme a dosadíme meze

  \[=p_1V_1[\ln\,V]_{V_1}^{5V_1} = p_1V_1\,\ln \frac{5V_1}{V_1}= p_1V_1\,\ln 5.\]

• Nápověda b) – vyjádření tlaku

  K vyjádření tlaku p jako funkce objemu V v případě adiabatického děje použijte Poissonův zákon.

• Poissonův zákon

  Poissonův zákon platí pro adiabatické děje a zní:

  \[pV^{\kappa}=konst,\]

  kde p je tlak, V objem a κ Poissonova konstanta.

• Nápověda b) – výpočet Poissonovy konstanty

  K výpočtu Poissonovy konstanty κ můžete využít vztah

  \[\kappa = \frac{C_p}{C_V},\]

  kde C_p je molární tepelná kapacita při stálém tlaku a C_V je molární tepelná kapacita při stálém objemu, a platí mezi nimi tzv. Meyerův vztah

  \[C_p=C_V+R,\]

  kde R je molární plynová konstanta.

• Rozbor b)

  Stejně jako v předchozí části úlohy i zde pro výpočet práce vodíku musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.

  Tlak vodíku tentokrát vyjádříme z Poissonova zákona, platného pro adiabatické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu opět použijeme počáteční a koncový objem vodíku.

  Nakonec bude ještě třeba spočítat Poissonovu konstantu. K tomu využijeme Meyerův vztah a vztah mezi Poissonovou konstantou, molární tepelnou kapacitou při stálém tlaku a při stálém objemu.

• Řešení b)

  Opět budeme vzhledem k nekonstantnosti tlaku používat pro výpočet práce plynu W_a vzorec

  \[W_a = \int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V,\]

  kde V₁ je počáteční objem vodíku a V₂ jeho objem po expanzi.

  K vyjádření tlaku p jako funkce objemu V nám tentokrát pomůže Poissonův zákon platící pro adiabatické (tepelně izolované) děje, podle kterého platí:

  \[p_1V_{1}^{\kappa} = pV^{\kappa}. \]

  Odtud ihned můžeme vyjádřit tlak p:

  \[p = \frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}}.\]

  Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci

  \[W_a = \int\limits_{V_1}^{V_2}p \, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{p_1V_1^{\kappa}}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

  vytkneme konstanty před integrál

  \[= p_1V_1^{\kappa} \int\limits_{V_1}^{5V_1}\frac{1}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

  zintegrujeme a dosadíme meze

  \[= p_1V_1^{\kappa}\frac{1}{-\kappa + 1}\left[V^{-\kappa + 1}\right]_{V_1}^{5V_1}= \frac{p_1V_1^{\kappa}}{-\kappa + 1}\left[(5V_1)^{-\kappa + 1} - V_1^{-\kappa + 1}\right].\]

  Po úpravě potom dostaneme

  \[W_a = \frac{p_1V_1}{\kappa-1}\,\left(1-5^{1-\kappa}\right).\]

  V tomto vztahu ovšem ještě neznáme Poissonovu konstantu κ daného plynu. K jejímu určení nám pomůže jednak její definiční vztah

  \[\kappa = \frac{C_p}{C_V},\]

  kde C_p je molární tepelná kapacita při stálém tlaku a C_V molární tepelná kapacita při stálém objemu, a jednak Meyerův vztah

  \[C_p = C_V + R,\]

  kde R je molární plynová konstanta.

  Po dosazení získáváme

  \[\kappa = \frac{C_V + R}{C_V} = \frac{\frac{5}{2}R + R}{\frac{5}{2}R} = \frac{7}{5}.\]

  Získanou hodnotu Poissonovy konstanty κ dosadíme do vztahu pro práci

  \[W_a = \frac{5\,p_1V_1}{2}\,\left(1-5^{-\frac{2}{5}}\right).\]

• Číselné dosazení

  a) práce při izotermické expanzi

  \[W_i = p_1V_1 \ln\,5 = 51\cdot{10^3}\cdot 100\cdot{10^{-6}}\cdot \ln\,5\, \,\mathrm{J} \dot{=} 8{,}21\, \mathrm{J}\]

  b) práce při adiabatické expanzi

  \[W_a = \frac{5\,p_1V_1}{2}\,\left(1-5^{-\frac{2}{5}}\right) = \frac{5}{2}\cdot 51\cdot{10^3}\cdot 100\cdot{10^{-6}}\cdot \left(1-5^{-\frac{2}{5}}\right)\, \mathrm{J} \] \[W_a \dot{=} 6{,}05\, \mathrm{J}\]

• Odpověď

  Při izotermické expanzi plyn vykoná práci asi 8,21 J, při adiabatické pak přibližně 6,05 J.