Mýdlová blána v rámu s pohyblivou příčkou

Úloha číslo: 2023

Na rámu s pohyblivou příčkou o délce 5 cm a hmotnosti 0,2 g je mýdlová blána, jejíž povrchové napětí je σ = 40 mN·m−1.

a) Jakým závažíčkem bychom udrželi pohyblivou příčku v rovnováze?

b) Jakou práci je třeba vykonat, abychom příčku posunuli o 1,5 cm?

  • Rozbor

    Část a)

    Vytvoříme-li v drátěném rámečku s pohyblivou příčkou mýdlovou blánu, bude se blána snažit zaujmout co nejmenší povrch. Blána bude na příčku působit povrchovou silou a posune ji tak, aby se povrch blány zmenšil. Chceme-li blánu udržet napjatou, musíme na pohyblivou příčku působit dostatečně velkou silou v opačném směru a zatížit ji například závažíčkem.

    Část b)

    Chceme-li posunout příčku, za kterou táhne napjatá blána, o  určitou vzdálenost, musíme vykonat práci. Velikost této práce určíme jako součin konstantní síly, kterou na příčku budeme působit, a vzdálenosti, o kterou příčku posuneme.

  • Nápověda - Výpočet povrchové síly

    Pro povrchovou sílu platí vztah

    \[F_{\mathrm{p}} = σl,\]

    kde σ je povrchové napětí kapaliny a l je délka okraje povrchové blány, na který působí povrchová síla kolmo k povrchu kapaliny.

    Mýdlová blána má dva povrchy, délku okraje této blány tedy musíme počítat dvakrát. Povrchovou sílu, kterou působí mýdlová blána na příčku, vypočítáme ze vztahu

    \[F_{\mathrm{p}} = 2σl.\]
  • Nápověda k části a)

    Která další síla působí na příčku? Co musí platit pro výslednici sil působících na příčku, má-li být v rovnováze?

  • Nápověda k části b)

    Jak velkou silou musíme na příčku působit, aby se posouvala rovnoměrným pohybem?

  • Řešení části a)

    Velikost povrchové síly, kterou na příčku působí mýdlová blána, určíme ze vztahu

    \[F_{\mathrm{p}} = 2σl.\]

    Na příčku dále působí tíhová síla daná její vlastní hmotností a hmotností závažíčka. Pro tíhovou sílu platí vztah

    \[F_{\mathrm{g}} = mg.\]

    Má-li být pohyblivá příčka v rovnováze, musí být v rovnováze síly, které na příčku působí. Povrchová síla se musí rovnat tíhové síle:

    \[F_{\mathrm{p}} = F_{\mathrm{g}},\]

    platí tedy

    \[2σl = mg.\tag{1}\]

    Chceme znát hmotnost závažíčka, které příčku udrží v rovnováze. Ze vztahu (1) si vyjádříme hmotnost (jedná se ale o celkovou hmotnost závažíčka a příčky):

    \[m = \frac{2σl}{g}.\tag{2}\]

    Dále do vztahu (2) dosadíme hodnoty známé ze zadání a vypočítáme celkovou hmotnost závažíčka a příčky

    \[m \dot{=}\, \frac{2·40·10^{−3}·5·10^{−2}}{9{,}8} \mathrm{kg}\] \[m \dot{=}\, 4{,}1·10^{−4} \mathrm{kg}.\]

    Hmotnost závažíčka mz zjistíme snadno odečtením známé hmostnosti příčky mp od celkové hmotnosti m, kterou jsme právě vypočítali.

    \[m_{\mathrm{z}} = m −m_{\mathrm{p}}\] \[m_{\mathrm{z}} = 4{,}1·10^{−4} kg − 2·10^{−4} kg\] \[m_{\mathrm{z}} = 2{,}1·10^{−4} kg.\]
  • Řešení části b)

    Působí-li konstantní síla velikosti F po dráze délky s, vykoná práci

    \[W = F·s.\]

    V našem případě je síla F daná velikostí povrchové síly, kterou působí na příčku mýdlová blána.

    Po dosazení dostaneme vztah

    \[W = 2σl·s.\tag{3}\]

    Nyní do vztahu (3) dosadíme zadané hodnoty a vypočítáme, jak velkou práci vykonáme při posunutí příčky o 1,5 cm

    \[W \dot{=}\, 2·40·10^{−3}·5·10^{−2}·1{,}5·10^{−2} \mathrm{J}\] \[W \dot{=}\, 6·10^{−5} \mathrm{J}.\]
  • Odpověď

    Pohyblivou příčku bychom udrželi v rovnováze závažíčkem o hmotnosti přibližně 0,2 g. Chceme-li příčku posunout o 1,5 cm, je potřeba vykonat práci 60 μJ.

  • Odkaz na experiment

    Pokus k této úloze a k měření povrchového napětí mýdlové vody najdete zde: Mýdlová blána v rámu s pohyblivou příčkou.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a
statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
×Původní zdroj: Obdržálek, J.: Řešené příklady z termodynamiky, molekulové a statistické fyziky. Matfyzpress, Praha 2015. ISBN978-80-7378-300-6
Zaslat komentář k úloze