Teplotní roztažnost mosazné koule

Úloha číslo: 485

Mosazná koule má při teplotě 15 °C průměr 4 cm. O kolik stupňů je nutné zvýšit její teplotu, aby neprošla otvorem o průměru 4,04 cm?

  • Nápověda

    Pro výpočet změny délky s teplotou je třeba znát tzv. koeficient délkové roztažnosti α, který můžete dohledat v tabulkách.

  • Rozbor

    Koule neprojde otvorem, pokud se její průměr zvětší na více než 4,04 cm. K tomu, abychom určili závislost průměru koule na teplotě potřebujeme znát koeficient délkové roztažnosti mosazi α, který vyhledáme v tabulkách. Změnu teploty potom vyjádříme ze vztahu pro délkovou roztažnost, dosadíme a vypočítáme.

  • Zápis

    t0 = 15 °C počáteční teplota
    d0 = 4 cm počáteční průměr koule
    d1 = 4,04 cm průměr otvoru
    Δt = ? změna teploty

    Z tabulek:

    α = 20·10−6 °C−1 koeficient délkové roztažnosti mosazi
  • Řešení

    Musíme zjistit, při jaké teplotě bude průměr koule roven průměru otvoru. K tomu, abychom mohli určit závislost průměru na teplotě, musíme znát koeficient délkové roztažnosti α (uvažujeme změnu v jednom rozměru, proto pracujeme s délkovou roztažností).

    \[d_1=d_0\left(1+\alpha\mathrm{\Delta}t\right)\]

    Z něj můžeme vyjádřit hledanou změnu teploty Δt :

    \[\frac{d_1}{d_0}-1=\alpha\mathrm{\Delta}t\] \[\mathrm{\Delta}t=\frac{1}{\alpha}\left(\frac{d_1}{d_0}-1\right)\]

     

    Číselné dosazení:

    \[\mathrm{\Delta}t=\frac{1}{20\cdot{10^{-6}}}\left(\frac{4{,}04}{4}-1\right)\,{\,^{\circ}\mathrm{C}}=500{\,^{\circ}\mathrm{C}}\]
  • Odpověď

    Teplotu mosazné koule musíme zvýšit nejméně o 500 °C.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze