Celková změna entropie v Carnotově cyklu
Úloha číslo: 440
Dokažte, že celková změna entropie v Carnotově cyklu je rovna nule.
Nápověda 1 – Carnotův cyklus
Připoměťe si, z jakých dějů se skládá Carnotův cyklus. Pro každý z nich pak určete změnu entropie.
Nápověda 2 – změna entropie při adiabatických dějích
Při adiabatických dějích se entropie nemění, protože dQ = 0.
Nápověda 3 – změna entropie při izotermickém ději
Při izotermickém ději plyn koná práci W, je mu dodáno teplo Q, a proto se jeho entropie zvýší o hodnotu
\[\Delta S=\frac{Q}{T},\]kde T je teplota, při níž děj probíhá.
Teplo Q je rovno práci W, při jejímž výpočtu musíme použít integrální počet.
Při izotermické expanzi plyn koná práci na úkor dodaného tepla, proto entropie roste. Při izotermické kompresi je práce vykonaná plynem záporná (práci koná okolí), tj. dodané teplo je také záporné (plyn odevzdává teplo do okolí). Změna entropie je tedy také záporná, tj. entropie klesá.
Nápověda 4 – vyjádření tlaku
Pro vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv Boyle-Mariottův zákon.
Rozbor
Carnotův cyklus je kruhový děj, který se skládá postupně ze čtyř vratných dějů: z izotermické expanze, adiabatické expanze, izotermické komprese a adiabatické komprese.
Změna entropie se rovná podílu dodaného tepla a teploty, při které bylo teplo dodáno.
Při adiabatických dějích se entropie nemění. Je to dáno tím, že při nich neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho okolím.
Při izotermické expanzi koná plyn práci, je mu dodáno teplo, a proto se jeho entropie zvýší o hodnotu danou podílem dodaného tepla a termodynamické teploty. Dodané teplo je rovno práci, kterou plyn při tomto ději vykoná. Pro její výpočet musíme použít integrální počet, protože tlak není při tomto ději konstantní. K vyjádření tlaku jako funkci objemu využijeme tzv. Boyleův-Mariottův zákon.
Při izotermické kompresi koná práci okolí, plyn odevzdává teplo, a proto entropie klesá o hodnotu danou podílem odevzdaného tepla a termodynamické teploty. Odevzdané teplo je rovno práci vykonané okolím. K jejímu výpočtu opět musíme použít integrální počet.
Naši úkolem je tedy ukázat, že obě změny entropie mají stejnou velikost.
Řešení
Carnotův cyklus je kruhový děj, který se skládá postupně ze čtyř vratných dějů: z izotermické expanze, adiabatické expanze, izotermické komprese a adiabatické komprese.
My nyní určíme změny entropie v jednotlivých fázích cyklu.
V průběhu obou adiabatických dějů se entropie nemění. Je to dáno tím, že při nich neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho okolím. Platí dQ = 0, a proto i
\[\text{d}S=\frac{\text{d}Q}{T}=0,\]kde T je termodynamická teplota.
V našem případě tedy pro příslušné změny entropie dostáváme
\[\Delta S_2=\Delta S_4=0.\]Při izotermické expanzi koná plyn práci, je mu dodáno teplo Q1, a proto se jeho entropie zvýší o hodnotu
\[\Delta S_1=\frac{Q_1}{T_2},\]kde T2 je teplota, při níž děj probíhá.
Dodané teplo Q1 je rovno práci W1, kterou plyn při tomto ději vykoná. Pro její výpočet musíme použít integrální počet
\[Q_1=W_1= \int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V,\]protože tlak p není konstantní. Jako meze použijeme počáteční V1 a koncový V2 objem plynu.
Tlak p jako funkci objemu V vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona p1V1 = pV. Získaný výraz
\[p=\frac{p_1V_1}{V}\]dosadíme do integrálu
\[W_1= \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\text{d}V= \]vytkneme konstanty před integrál
\[=p_1V_1\int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{\text{d}V}{V}= \]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=p_1V_1[\ln{V}]_{V_1}^{V_2}=p_1V_1\ln{\frac{V_2}{V_1}}. \]Po použití stavové rovnice ideálního plynu p1V1 = nRT2 dostaneme
\[W_1= nRT_2\ln{\frac{V_2}{V_1}}.\]Pro ΔS1 potom získáme
\[\Delta S_1=\frac{Q_1}{T_2}= nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}.\]Nyní ještě musíme určit změnu entropie ΔS3 při izotermické kompresi. V tomto případě koná práci okolí, plyn odevzdává teplo, a proto entropie klesá. Konkrétně dojde ke snížení o hodnotu
\[\Delta S_3=\frac{Q_3}{T_1},\]kde T1 je teplota, při níž děj probíhá.
Teplo Q3 je rovno práci W3 vykonané okolím. K jejímu výpočtu opět musíme použít integrální počet. Postup je podobný jako u předchozího dějě
\[Q_3=W_3=-\int\limits_{V_3}^{V_4}p\,\text{d}V= -p_3V_3\int\limits_{V_3}^{V_4}\frac{\text{d}V}{V}=\] \[=p_3V_3\ln{\frac{V_3}{V_4}}= nRT_1\ln{\frac{V_3}{V_4}}.\]Pro změnu entropie ΔS3 potom získáváme
\[\Delta S_3=\frac{Q_3}{T_1}= nR\ln{\frac{V_3}{V_4}}.\]Celková změna entropie je na základě výše provedených úvah dána vztahem
\[\Delta S=\Delta S_1-\Delta S_3= nR\left(\ln{\frac{V_2}{V_1}}-\ln{\frac{V_3}{V_4}}\right).\]Pro Carnotův cyklus se dá dokázat (viz Komentář) platnost vztahu
\[\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}.\]Po použití této rovnosti dostáváme
\[\Delta S= nR\left(\ln{\frac{V_2}{V_1}}-\ln{\frac{V_2}{V_1}}\right)= 0.\]Tím je důkaz dokončen.
Odpověď
Dokázali jsme, že celková změna entropie v Carnotově cyklu je rovna nule.
Komentář
Nyní ještě odvodíme použitý vztah
\[\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}.\]Využijeme k tomu tzv. Poissonův zákon. Ten platí pro adiabatické děje a můžeme ho napsat ve tvaru
\[TV^{\kappa-1}=\mathrm{konst.},\]kde κ je Poissonova konstanta.
V našem případě pro adiabatickou expanzi platí:
\[T_1V_2^{\kappa-1}=T_2V_3^{\kappa-1}\]a pro adiabatickou kompresi
\[T_2V_4^{\kappa-1}=T_1V_1^{\kappa-1}.\]Strany druhé rovnice prohodíme
\[T_1V_1^{\kappa-1}=T_2V_4^{\kappa-1}\]a vydělíme jí první rovnici.
Tím získáme výraz
\[\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa -1}=\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\kappa -1}.\]Po odmocnění již dostaneme hledaný vztah
\[\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}.\]
