Kubický krystal
Úloha číslo: 2145
Kubický krystal je namáhán ve směru [100]. Vyjádřete Poissonovu konstantu tohoto krystalu pomocí elastických konstant.
Zápis
sij ;i,j = (1;2;4) elastické konstanty m = ? Poissonova konstanta Teorie a značení
V Hookově zákoně pro anizotropní látku používáme soustavu rovnic:
\[\varepsilon_{xx}\,=\,s_{11}\sigma_{xx}+s_{12}\sigma_{yy}+s_{13}\sigma_{zz}+s_{14}\tau_{yz}+s_{15}\tau_{zx}+s_{16}\tau_{xy},\] \[\varepsilon_{yy}\,=\,s_{21}\sigma_{xx}+s_{22}\sigma_{yy}+s_{23}\sigma_{zz}+s_{24}\tau_{yz}+s_{25}\tau_{zx}+s_{26}\tau_{xy},\] \[\varepsilon_{zz}\,=\,s_{31}\sigma_{xx}+s_{32}\sigma_{yy}+s_{33}\sigma_{zz}+s_{34}\tau_{yz}+s_{35}\tau_{zx}+s_{36}\tau_{xy},\] \[\gamma_{yz}\,=\,s_{41}\sigma_{xx}+s_{42}\sigma_{yy}+s_{43}\sigma_{zz}+s_{44}\tau_{yz}+s_{45}\tau_{zx}+s_{46}\tau_{xy},\] \[\gamma_{zx}\,=\,s_{51}\sigma_{xx}+s_{52}\sigma_{yy}+s_{53}\sigma_{zz}+s_{54}\tau_{yz}+s_{55}\tau_{zx}+s_{56}\tau_{xy},\] \[\gamma_{xy}\,=\,s_{61}\sigma_{xx}+s_{62}\sigma_{yy}+s_{63}\sigma_{zz}+s_{64}\tau_{yz}+s_{65}\tau_{zx}+s_{66}\tau_{xy},\]kde
\[\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}\]jsou tahová napětí,
\[\tau_{yz}, \tau_{zx}, \tau_{xy}\]jsou smyková napětí,
\[\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}\]jsou normálové deformace,
\[\gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}\]jsou smykové deformace a
\[s_{ij}\]jsou elastické konstanty.
Tenzorem napětí zde rozumíme:
\[\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\ \end{bmatrix}.\]Tenzor je symetrický, to znamená že platí
\[\tau_{yx} = \tau_{xy},\] \[\tau_{zx} = \tau_{xz},\] \[\tau_{zy} = \tau_{yz}.\]Stačí nám tedy uvažovat pouze členy
\[\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{yz}, \tau_{zx}, \tau_{xy}.\]Tenzorem deformace je:
\[\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \gamma_{xy} & \gamma_{xz} \\ \gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} & \gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix}.\]I tento tenzor je symetrický, takže
\[\gamma_{yx} = \gamma_{xy}\] \[\gamma_{zx} = \gamma_{xz}\] \[\gamma_{zy} = \gamma_{yz}.\]Máme tedy celkově šest členů pro deformaci
\[\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}.\]Soustavu rovnic můžeme uvažovat i inverzně, tedy složky tenzoru napětí lze napsat lineárními vztahy:
\[\sigma_{xx}\,=\,C_{11}\varepsilon_{xx}+C_{12}\varepsilon_{yy}+C_{13}\varepsilon_{zz}+C_{14}\gamma_{yz}+C_{15}\gamma_{zx}+C_{16}\gamma_{xy},\] \[\sigma_{yy}\,=\,C_{21}\varepsilon_{xx}+C_{22}\varepsilon_{yy}+C_{23}\varepsilon_{zz}+C_{24}\gamma_{yz}+C_{25}\gamma_{zx}+C_{26}\gamma_{xy},\] \[\sigma_{zz}\,=\,C_{31}\varepsilon_{xx}+C_{32}\varepsilon_{yy}+C_{33}\varepsilon_{zz}+C_{34}\gamma_{yz}+C_{35}\gamma_{zx}+C_{36}\gamma_{xy},\] \[\tau_{yz}\,=\,C_{41}\varepsilon_{xx}+C_{42}\varepsilon_{yy}+C_{43}\varepsilon_{zz}+C_{44}\gamma_{yz}+C_{45}\gamma_{zx}+C_{46}\gamma_{xy},\] \[\tau_{zx}\,=\,C_{51}\varepsilon_{xx}+C_{52}\varepsilon_{yy}+C_{53}\varepsilon_{zz}+C_{54}\gamma_{yz}+C_{55}\gamma_{zx}+C_{56}\gamma_{xy},\] \[\tau_{xy}\,=\,C_{61}\varepsilon_{xx}+C_{62}\varepsilon_{yy}+C_{63}\varepsilon_{zz}+C_{64}\gamma_{yz}+C_{65}\gamma_{zx}+C_{66}\gamma_{xy},\]kde
\[C_{ij}\]jsou elastické moduly (moduly pružnosti).
Rozbor
Poissonova konstanta vyjadřuje poměr relativního prodloužení k relativnímu příčnému zkrácení při namáhání tahem. V našem případě je nenulové pouze napětí v prvním směru. Není tedy důvod uvažovat smyková napětí a úhlové deformace. Vlastnosti ve druhém a třetím směru budou při tomto namáhání stejné. Mezi deformacemi v prvním a druhém směru musí být záporná směrnice. Poissonova konstanta je absolutní hodnotou této směrnice, při které se uvažuje deformace v druhém směru jako funkce závislá na deformaci v prvním směru. V opačném případě by se jednalo o Poissonovo číslo.
Nápověda
Pro kubický krystal stačí vzít jen elastické konstanty s11, s12, s44, což plyne ze symetrie krystalu. Matice, která obsahuje všechny elastické konstanty, je pro kubický krystal čtvercová šestého řádu a symetrická. Vyjádřete pomocí ní přechod od napětí k deformacím. Ve vzniklých šesti rovnicích není důvod uvažovat tři rovnice pro úhlové deformace. Nenulové napětí je pouze tahové napětí v prvním směru. Zde je deformace v druhém směru stejná jako v prvním směru, stačí tedy vzít jen jednu z příslušných rovnic. Poissonova konstanta je dána poměrem deformace v prvním a druhém směru. Nezapomeňte na to, že když krystal v jednom směru prodloužíme, tak ve druhém se zúží. Ovšem Poissonova konstanta musí být kladná.
Řešení
Ze symetrie krystalu plyne, že zde stačí uvažovat pouze tři elastické konstanty:
\[s_{11}, s_{12}, s_{44}.\]Poznámka: Jako matici přechodu od složek tenzoru napětí do složek tenzoru deformace můžeme pro kubický krystal uvažovat:
\[\begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{12} & 0 & 0 & 0 \\ s_{12} & s_{11} & s_{12} & 0 & 0 & 0 \\ s_{12} & s_{12} & s_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & s_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & s_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & s_{44} \end{pmatrix}.\]Hookův zákon pro kubický krystal má tedy tvar:
\[\varepsilon_{xx}\,=\,s_{11}\sigma_{xx}+s_{12}\sigma_{yy}+s_{12}\sigma_{zz},\tag{1}\] \[\varepsilon_{yy}\,=\,s_{12}\sigma_{xx}+s_{11}\sigma_{yy}+s_{12}\sigma_{zz},\tag{2}\] \[\varepsilon_{zz}\,=\,s_{12}\sigma_{xx}+s_{12}\sigma_{yy}+s_{11}\sigma_{zz},\tag{3}\] \[\gamma_{yz}\,=\,s_{44}\tau_{yz},\tag{4}\] \[\gamma_{zx}\,=\,s_{44}\tau_{zx},\tag{5}\] \[\gamma_{xy}\,=\,s_{44}\tau_{xy}.\tag{6}\]Protože je krystal namáhán pouze ve směru [100], tak jediná nenulová složka napětí je tahová ve směru x. Rovnice (4), (5) a (6) tedy nebudou dále potřeba. Také rovnice (3) nebude potřeba, protože v našem případě je deformace ve směru [010] stejná jako ve směru [001]. Rovnice (1) a (2) můžeme přepsat na:
\[\varepsilon_{xx}\,=\,s_{11}\sigma_{xx},\tag{7}\] \[\varepsilon_{yy}\,=\,s_{12}\sigma_{xx}.\tag{8}\]Pro Poissonovu konstantu platí vztah:
\[m\,=\,-\frac{\varepsilon_{xx}}{\varepsilon_{yy}}.\tag{9}\]Dosazením (7) a (8) do (9) již dostáváme:
\[m\,=\,-\frac{s_{11}}{s_{12}}.\]Odpověď
Poissonova konstanta kubického krystalu vyjádřená pomocí elastických konstant je:
\[m\,=\,-\frac{s_{11}}{s_{12}}.\]
