Označené molekuly vody
Úloha číslo: 1740
Předpokládejme, že máme ve sklenici o objemu 0,2 l zvláštní vodu, jejíž molekuly jsou označeny, ale všechny ostatní fyzikální a chemické vlastnosti zůstávají nezměněny. Tuto označenou vodu vylijeme a po nějaké době se rovnoměrně promíchá s veškerou vodou na Zemi. Kolik označených molekul je nyní ve stejné sklenici naplněné vodou z vodovodu?
Na internetu můžeme najít, že na Zemi je asi 1,26·1021 l vody.
Zápis
V této úloze se vyskytuje více neznámých. Uvádíme zde značení, které při řešení úlohy budeme používat:
VZ = 1,26·1021 l objem veškeré vody na Zemi NZ počet všech molekul vody na Zemi VS = 0,2 l objem vody ve sklenici mS hmotnost vody ve sklenici NS počet molekul vody ve sklenici N´ počet všech označených molekul vody Nozn = ? počet označených molekul ve sklenici promíchané vody Počet molekul vody ve sklenici je stejný, jako počet všech označených molekul na Zemi
\[N_{\mathrm{S}} = N´.\]Při výpočtech budeme počet molekul ve sklenici také značit jako N´.
Hodnoty z tabulek:
NA = 6,022·1023 mol−1 Avogadrova konstanta ρ = 1000 kg·m−3 hustota vody Rozbor
Chceme vypočítat, kolik označených molekul se nachází ve sklenici promíchané vody o objemu 0,2 l. Nejdříve zjistíme, kolik molekul vody se vejde do sklenice o objemu 0,2 l. Počet těchto molekul je zároveň i počet všech označených molekul. Známe objem veškeré vody na Zemi a počet označených molekul, které se v tomto objemu rovnoměrně rozmíchaly. Můžeme tedy určit objemovou hustotu označených molekul. Ta zůstane zachovaná i ve vodě natočené z vodovodu. Objem natočené vody známe, takže počet označených molekul ve sklenici již snadno určíme.
Nápověda - počet molekul vody známé hmotnosti
Zamyslete se, z jakého vztahu lze určit počet molekul v látce. Jaké veličiny v něm figurují? Umíte je vyjádřit pomocí veličin, které znáte, případně je umíte dohledat?
Nápověda - molární hmotnost vody
Abychom mohli určit počet molekul vody ve sklenici, budeme potřebovat znát molární hmotnost vody. Jak určíme molární hmotnost vody s využitím tabulkových hodnot? Zkuste ji vypočítat.
Řešení přes objemovou hustotu částic
Na začátku máme sklenici o objemu VS = 0,2 l plnou označených molekul vody. Chtěli bychom zjistit počet těchto molekul. Známe-li objem vody ve sklenici, umíme vypočítat i její hmotnost mS. Počet označených molekul N´ tak můžeme zjistit s využitím vztahu (3) jako
\[N´ = N_{\mathrm{A}}\frac{m_{\mathrm{S}}}{M_{\mathrm{m}}}.\tag{5}\]Nyní známe počet všech označených molekul vody na Zemi.
Následně se označené molekuly vody ze sklenice rovnoměrně promíchají s obyčejnými molekulami vody na Zemi. Jejich objemová hustota bude
\[\frac{N´}{V_{\mathrm{Z}}}.\]Objemová hustota zůstane zachovaná i pro vodu natočenou z vodovodu do stejné sklenice.
Platí tedy:
\[\frac{N´}{V_{\mathrm{Z}}} = \frac{N_{ozn}}{V_{\mathrm{S}}}.\]Nebo pomocí trojčlenky:
\[\frac{N_{ozn}}{N´} = \frac{V_{\mathrm{S}}}{V_{\mathrm{Z}}}\] \[N_{ozn} = N´·\frac{V_{\mathrm{S}}}{V_{\mathrm{Z}}}.\]veškerá voda na Zemi o objemu VZ N´ označených částic voda ve sklenici o objemu VS Nozn označených částic Za N´ dosadíme vztah (5)
\[N_{ozn} = N_{\mathrm{A}}\frac{m_{\mathrm{S}}}{M_{\mathrm{m}}}·\frac{V_{\mathrm{S}}}{V_{\mathrm{Z}}}.\]Nakonec dosadíme známé hodnoty a vypočítáme počet označených molekul ve sklenici promíchané vody
\[N_{ozn} \dot{=}\, 6{,}022·10^{23}·\frac{0{,}2}{18{,}02·10^{−3}}·\frac{0{,}2}{1{,}26·10^{\mathrm{21}}}\] \[N_{ozn} \dot{=}\, 1{,}06·10^{3}.\]Jiné řešení přes poměr počtu molekul
Ve sklenici máme N´ označených molekul vody. Známe-li objem vody ve sklenici VS, můžeme určit i její hmotnost mS. Počet označených molekul pak vypočítáme podle (3) jako
\[N´ = N_{\mathrm{A}}\frac{m_{\mathrm{S}}}{M_{\mathrm{m}}}.\tag{6}\]Na Zemi je celkem NZ molekul vody. Jejich počet můžeme vypočítat analogicky s počtem označených molekul jako
\[N_{\mathrm{Z}} = N_{\mathrm{A}}\frac{m_{\mathrm{Z}}}{M_{\mathrm{m}}}.\tag{7}\]Po promíchání vody ze sklenice s ostatní vodou na Zemi budou molekuly označené a obyčejné vody v poměru N´:NZ. Tento poměr pak zůstane zachován i ve vodě z vodovodu.
Do sklenice, která byla na začátku plná označených molekul, natočíme z vodovodu promíchanou vodu. Počet molekul vody ve sklenici je nyní stejný, jako počet všech označených molekul vody na Zemi. Ve sklenici tedy máme N´ molekul. Chceme zjistit počet označených molekul Nozn ve sklenici promíchané vody.
Poměr počtu označených molekul ve sklenici promíchané vody ku počtu všech molekul ve sklenici je stejný, jako poměr počtu všech označených molekul ku počtu všech molekul vody na Zemi:
\[\frac{N_{\mathrm{ozn}}}{N´} = \frac{N´}{N_\mathrm{Z}}.\]Odtud:
\[N_{\mathrm{ozn}} = N´\frac{N´}{N_\mathrm{Z}}.\tag{8}\]Do vztahu (8) dosadíme (6) a (7) a upravíme ho
\[N_{ozn} = \frac{N´^{2}}{N_Z} = \frac{N_{\mathrm{A}}^{2}\frac{m_{\mathrm{S}}^{2}}{M_{\mathrm{m}}^{2}}}{N_{\mathrm{A}}\frac{m_{\mathrm{Z}}}{M_{\mathrm{m}}}} = \frac{N_{\mathrm{A}}·m_{\mathrm{S}}^{2}}{M_{\mathrm{m}}·m_{\mathrm{Z}}}\]dosadíme známé hodnoty a zjistíme počet označených částic ve sklenici promíchané vody
\[N_{ozn} \dot{=}\, \frac{6{,}022·10^{23}·0{,}2^{2}}{18{,}02·10^{−3}·1{,}26·10^{21}}\] \[N_{ozn} \dot{=}\, 1{,}06·10^{3}.\]Odpověď
Ve sklenici promíchané vody o objemu 0,2 l bude přibližně 1060 označených částic.
