Sbírka řešených úloh

Led v kalorimetru

Úloha číslo: 353

• Nápověda

  Vzhledem k tomu, že se množství ledu zvýšilo, musela část vody, která byla původně v kalorimetru, zmrznout. Výsledným stavem je rovnovážná směs vody a ledu o teplotě 0 °C.

  Výměna tepla tedy probíhala takto:

  Led o neznámé teplotě odebíral teplo vodě. Led se ohříval, voda ochlazovala.

  V okamžiku, kdy voda dosáhla teploty tuhnutí (0 °C), led této teploty ještě nedosáhl, odebral tedy vodě ještě další teplo. Díky tomu část vody zmrzla.

  V kalorimetrické rovnici tedy budeme mít:

  teplo přijaté = teplo potřebné na ohřátí ledu z neznámé teploty na teplotu tání,

  teplo odevzdané = teplo odevzdané při ochlazení veškeré vody na teplotu tuhnutí a skupenské teplo tuhnutí části vody, která zmrzla.

• Zápis

  mV = 150 g = 0,15 kg	počáteční hmotnost vody
  tV = 6 °C	počáteční teplota vody
  mL = 120 g = 0,12 kg	počáteční hmotnost ledu
  Δ m = 12 g = 0,012 kg	zvětšení hmotnosti ledu
  tL = ?	počáteční teplota ledu

  Další potřebné hodnoty:

  tt = 0 °C	teplota tání ledu
  cL = 2,1 kJkg−1K−1 = 2100 Jkg−1K−1	měrná tepelná kapacita ledu
  lt = 334 kJkg−1 = 3,34×105 Jkg−1	měrné skupenské teplo tání ledu
  cv = 4,18 kJkg−1K−1 = 4180 Jkg−1K−1	měrná tepelná kapacita vody

• Rozbor

  Ze zadání úlohy víme, že výsledným stavem je rovnovážný stav vody a ledu. To znamená, že výsledná teplota odpovídá teplotě tání vody. Na tuto teplotu se voda, která byla v kalorimetru, ochladila a přidaný led se naopak ohřál. Na svůj ohřev odebíral led teplo vodě, která teplo odevzdávala.

  Vzhledem k tomu, že v kalorimetru bylo na konci experimentu více ledu než na začátku, znamená to, že část vody zmrzla a při změně skupenství uvolnila teplo, které přijal led a využil ho na svůj ohřev. Jinými slovy: Teplo, které odevzdala voda při svém ochlazení na teplotu tání, nestačilo na to, aby se led na teplotu tání ohřál. Pro ustanovení rovnováhy je ale třeba, aby led i voda měly stejnou teplotu, tedy teplotu tání, proto led odebral vodě ještě další teplo, což se projevilo tím, že část vody zmrzla.

• Řešení

  Při řešení vyjdeme z kalorimetrické rovnice, která říká, že teplo odevzdané teplejším tělesem se rovná teplu, které přijme těleso chladnější. V našem případě teplo odevzdává voda – snižuje svoji teplotu a potom její část zmrzne. Odevzdané teplo se tedy rovná:

  \[Q_{\mathrm{odevzdane}}=c_\mathrm{V} m_\mathrm{V} (t_\mathrm{V}-t_\mathrm{t}) + l_\mathrm{t} \Delta m.\]

  Chladnějším tělesem je led, který přijímá teplo a ohřívá se na teplotu tání:

  \[Q_{\mathrm{prijate}}=c_\mathrm{L} m_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_\mathrm{L}). \]

  Obě tepla porovnáme:

  \[Q_{\mathrm{odevzdane}} = Q_{\mathrm{prijate}} \]

  \[c_\mathrm{V} m_\mathrm{V} (t_\mathrm{V}-t_\mathrm{t}) + l_\mathrm{t} \Delta m = c_\mathrm{L} m_\mathrm{L} (t_\mathrm{t}-t_\mathrm{L}) \]

  a vyjádříme neznámou teplotu ledu:

  \[t_\mathrm{t} - t_\mathrm{L} = \frac{c_\mathrm{V} m_\mathrm{V} (t_\mathrm{V} - t_\mathrm{T}) + l_\mathrm{t} \Delta m}{c_\mathrm{L} m_\mathrm{L}}, \]

  \[t_\mathrm{L} =t_\mathrm{t} - \frac{c_\mathrm{V} m_\mathrm{V} (t_\mathrm{V} - t_\mathrm{T}) + l_\mathrm{t} \Delta m}{c_\mathrm{L} m_\mathrm{L}}, \]

  \[t_\mathrm{L} =(0-\frac{4180 \cdot{0{,}15}\cdot{(6 - 0)} + 3{,}34 \cdot{10^5} \cdot{0{,}012}}{2100 \cdot{ 0{,}12}})\,\mathrm{^\circ C} \dot= -31 \,\mathrm{^\circ C}.\]

• Odpověď

  Led, který jsme přidali do kalorimetru, musel být podchlazený na teplotu asi −31 °C.